最优性条件(非线性规划)kuhn-tucker条件.ppt

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1、非线性规划最优性条件(Kuhn-Tucker条件)数学规划约束集或可行域MP的可行解或可行点向量化表示当p=0,q=0时,称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。否则,称为约束非线性规划或者约束最优化问题。非线性规划方法概述问题minf(x)s.t.g(x)≤0h(x)=0约束集S={x

2、g(x)≤0,h(x)=0}一、等式约束问题的最优性条件:考虑minf(x)s.t.h(x)=0回顾高等数学中所学的条件极值:问题求z=f(x,y)极值minf(x,y)在ф(x,y)=0的条件下。S.t.ф(x,y)=0引入Lagrange乘子:λLagrange函数L(x,y;λ)=f(x,

3、y)+λф(x,y)(fgh)(fh)即一、等式约束性问题的最优性条件:(续)若(x*,y*)是条件极值,则存在λ*,使fx(x*,y*)+λ*фx(x*,y*)=0fy(x*,y*)+λ*фy(x*,y*)=0Ф(x*,y*)=0推广到多元情况,可得到对于(fh)的情况:minf(x)s.t.hj(x)=0j=1,2,…,l若x*是(fh)的l.opt.,则存在υ*∈Rl使矩阵形式:分量形式:一、等式约束性问题的最优性条件:(续)几何意义是明显的:考虑一个约束的情况:最优性条件即:-▽f(ㄡ)ㄡ▽h(ㄡ)h(x)-▽f(x*)▽h(x*)这里x*---l.opt.▽f(x*)与▽

4、h(x*)共线,而ㄡ非l.opt.▽f(ㄡ)与▽h(ㄡ)不共线。二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件:考虑问题minf(x)s.t.gi(x)≤0i=1,2,…,m设x*∈S={x

5、gi(x)≤0i=1,2,…,m}令I={i

6、gi(x*)=0i=1,2,…,m}称I为x*点处的起作用集(紧约束集)。如果x*是l.opt.,对每一个约束函数来说,只有当它是起作用约束时,才产生影响,如:(fg)g2(x)=0x*g1(x)=0g1(x*)=0,g1为起作用约束二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件:(续)特别有如下特征:如图在x*:▽f(x*)+u*▽g(x*)=0

7、u*>0要使函数值下降,必须使g(x)值变大,则在ㄡ点使f(x)下降的方向(-▽f(ㄡ)方向)指向约束集合内部,因此ㄡ不是l.opt.。▽g(ㄡ)-▽f(ㄡ)X*-▽f(x*)▽g(x*)二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件:(续)定理(最优性必要条件):(K-T条件)问题(fg),设S={x

8、gi(x)≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集,设f,gi(x),i∈I在x*点可微,gi(x),iI在x*点连续。向量组{▽gi(x*),i∈I}线性无关。如果x*----l.opt.那么,u*i≥0,i∈I使二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件:(续)123412

9、g1=0g2=0g4=0x1g3=0x2x*▽g2(x*)▽g1(x*)-▽f(x*)(2,2)T二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:(续)用K-T条件求解:二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:(续)二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件:(续)可能的K-T点出现在下列情况:①两约束曲线的交点:g1与g2,g1与g3,g1与g4,g2与g3,g2与g4,g3与g4。②目标函数与一条曲线相交的情况:g1,g2,g3,g4对每一个情况求得满足(1)~(6)的点(x1,x2)T及乘子u1,u2,u3,u4,验证当满足可得,且ui≥0时,即为一个K-T点。下

10、面举几个情况:●g1与g2交点:x=(2,1)T∈S,I={1,2}则u3=u4=0解二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件:(续)●●二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件:(续)●三、一般约束问题的Kuhn-Tucker条件三、一般约束问题的Kuhn-Tucker条件(续)

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