高等数学 应用类 第二版 高等数学第七章.ppt

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1、高等数学新世纪高职高专教材编审委员会组编主编关革强第7章微分方程本章学习目标了解微分方程的解、通解、特解的概念;熟练掌握可分离变量、齐次和一阶线性微分方程的解法;会求可降阶的高阶微分方程.大连理工大学出版社第7章微分方程微分方程的概念一阶微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的解法一阶线性微分方程几类特殊的高阶微分方程y(n)=f(x)型微分方程y"=f(x,y')型微分方程y"=f(y,y')型微分方程微分方程的应用举例大连理工大学出版社7.1微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映

2、，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义.在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系式就是所谓的微分方程.微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数来，这就是解微分方程.大连理工大学出版社7.1微分方程的基本概念【例1】一曲线通过点(1，2)，且在该曲线上任一点M(x，y)处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x).根据导数的几何意义，可知

3、未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程)dy/dx=2x(7-1)此外，未知函数y=y(x)还应满足下列条件:x=1时，y=2，简记为y

4、x=1=2.(7-2)把(7-1)式两端积分，得（称为微分方程的通解）大连理工大学出版社7.1微分方程的基本概念【例1】一曲线通过点(1，2)，且在该曲线上任一点M(x，y)处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程.解y=∫2xdx，即y=x2+C，(7-3)其中C是任意常数.把条件“x=1时，y=2”代入(7-3)式，得2=12+C，由此定出C=1.把C=1代入(7-3)

5、式，得所求曲线方程（称为微分方程满足条件y

6、x=1=2的解）:y=x2+1.大连理工大学出版社7.1微分方程的基本概念【例2】列车在平直线路上以20米.秒(相当于72千米/小时)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4米.平方秒.问开始制动后多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式d2s/dt2=-0.4(7-4)此外，未知函数s=s(t)还应满足下列条件:t=0时，s=0，v=ds/dt=2

7、0.简记为s

8、t=0=0，s′

9、t=0=20.(7-5)把（7-4）式两端积分一次，得v=ds/dt=-0.4t+C1(7-6)大连理工大学出版社7.1微分方程的基本概念解再积分一次，得s=-0.2t2+C1t+C2(7-7)这里C1，C2都是任意常数.把条件v

10、t=0=20代入(7-6)得20=C1把条件s

11、t=0=0代入(7-7)得0=C2.把C1，C2的值代入(7-6)及(7-7)式得v=-0.4t+20，(7-8)s=-0.2t2+20t.(7-9)在(7-8)式中令v=0，得到列车从开始制动到完全停住所

12、需的时间t=200/4=50（秒）.再把t=50代入(7-9)，得到列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2×502+20×50=500（米）.大连理工大学出版社7.1微分方程的基本概念微分方程:表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，叫微分方程.常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程.偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶.微分方程的解:满足微分方程的函数（把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式）

13、叫做该微分方程的解.大连理工大学出版社7.1微分方程的基本概念通解:如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.初始条件:用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.特解:确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.积分曲线:微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线.大连理工大学出版社7.1微分方程的基本概念【例3】验证:函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方

14、程d2x/dt2+k2x=0的解.解求所给函数的导数:dx/dt=-kC1sinkt+kC2coskt，d2x/dt2=-k2C1coskt-k2C2sinkt=-k2(C1coskt+C2sinkt).将d2x/dt2及x的表达式代入所给方程，得BT-k2(C1coskt+C2sinkt)+k2(C1coskt+C2sinkt)=0.这表明函数x=C1coskt+C2s