高等数学 应用类 第二版 高等数学第五章.ppt

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1、高等数学新世纪高职高专教材编审委员会组编主编关革强第5章定积分及其应用本章学习目标理解定积分的概念及性质;熟练掌握和运用牛顿-莱布尼兹公式;熟练掌握用定积分解决一些几何、物理、经济等方面的应用问题的方法.定积分和不定积分是积分学的两个基本概念，它们之间既有区别，又有联系.在这一章里，我们首先从实例出发引出定积分的概念，然后讨论定积分的性质、计算方法及其在几何、物理、经济上的一些简单应用.大连理工大学出版社第5章定积分及其应用定积分的概念及性质引出定积分概念的两个实例定积分的定义定积分的性质牛顿-莱布尼兹公式定积分的换元积分法和

2、分部积分法定积分的换元积分法定积分的分部积分法定积分的应用平面直角坐标系下图形的面积旋转体的体积物理应用在经济工作中的应用无限区间上的广义积分大连理工大学出版社5.1.1引出定积分概念的两个实例求曲边梯形的面积设y=f(x)为闭区间[a，b]上的非负连续函数，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形，其中曲线弧AB称为曲边.下面求这个曲边梯形的面积.第一步:分割在区间[a，b]内任插入n-1个分割点a=x0

3、x0，x1]，[x1，x2]，…[x2，x3]，…，[xn-1，xn].小区间[xi-1，xi]的长度记为Δxi=xi-xi-1(i=1，2，…，n).过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形.大连理工大学出版社5.1.1引出定积分概念的两个实例求曲边梯形的面积第二步:近似代替在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，用以f(ξi)为高，[xi-1，xi]的区间长度为底的小矩形面积f(ξi)·Δxi近似代替第i个小曲边梯形的面积Ai，即Ai≈f(ξi)·Δxi(i=1，2，…，n)第三步:求和把这n个小矩形的面

4、积相加，得到曲边梯形面积A的近似值，即大连理工大学出版社5.1.1引出定积分概念的两个实例求曲边梯形的面积第四步:取极限分割越细，就越接近曲边梯形的面积A.当最大的小区间长度趋近于零，即‖T‖→0，也即n→+∞(‖T‖=max{Δx1，Δx2，…，Δxn})时，和式极限如果存在则是A，即大连理工大学出版社5.1.1引出定积分概念的两个实例求变速直线运动的路程设某质点作直线运动，其速度v=v(t)是时间间隔[a，b]上的连续函数，且v(t)≥0，下面求在这段时间内质点所经过的路程s.第一步:分割用n-1个分割点分割时间间隔[a，

5、b]a=t0

6、度为v(ξi)的匀速运动.得到质点在小时间段si的近似值：si≈v(ξi)·Δti(i=1，2，…，n)第三步:求和把这n段路程s1，s2，…，sn的近似值相加，得到总路程的近似值:大连理工大学出版社5.1.1引出定积分概念的两个实例求曲边梯形的面积第四步:取极限分割越细，就越接近质点在时间间隔[a，b]内经过的路程s.当最大的小时间段长度趋近于零，即‖T‖→0，也即n→+∞(‖T‖=max{Δt1，Δt2，…，Δtn})时，和式极限如果存在则是s，即大连理工大学出版社5.1.2定积分的定义定义设y=f(x)是区间[a，b]上

7、的一个有界函数，在[a，b]内任取n-1个分点a=x0

8、n})时，和式的极限都存在，那么称此极限为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，即其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限.大连理工大学出版社5.1.2定积分的定义如果不论对区间[a，b]的分法及ξi的取法如何，只要最