高等数学（版_建工类）高等数学参考资料

《高等数学（版_建工类）高等数学参考资料》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章函数的极限1、三铰拱桥与列格式悬链线，参见《结构力学》各种教材。2、〔习题1-2讨论题〕铅球运动员的活动区域是直径为2.135m的圆内。假设运动员投射的初速度是，试建立铅球投掷的水平距离与投射角的函数关系。并据此研究教练应如何对运动员进行指导。参考书：戴再平，数学方法与解题研究〔M〕，高等教育出版社，1996.4.P92-93.参考解答：〔模型假设〕1）空气阻力不计；2）忽略人体的转体问题；3）投射角与投射的初速度无关。〔模型建立〕设铅球投射角为，投射的初速度为，运动员的手掌离地的高度为，铅球离手后飞行的时间为，如图1。图1根据物理学知识可知，整个投掷

2、过程可用以下参数方程描述。消去得：令，可解得：〔模型分析〕取，，给出一个数据表：11.547.514.92911.545.014.10311.542.515.18211.541.615.18911.540.015.16911.530.015.09211.536.014.96011.041.614.03212.041.616.392上述结果表明，教练在训练过程中，应集中主要精力增加运动员投掷的初速度。3、〔习题1-4讨论题〕用现代极限论的方法证明刘徽的“割圆木”，并计算圆周长。参考书：王能超，千古绝技“割圆术”——探究数学史上一桩千年疑案[M]。华中理工大学出

3、版社，2000年。参考解答：刘徽的“割圆术”讲的是用圆内接正边形的周长逼近圆周长。易见是单调有界数列，。设圆半径为，是圆内接正边形的一边。如图2。图2，，圆内接正边形的周长为：当时，得圆周长为：令，上式所以，这就是圆周长计算公式。4、〔第4节正文末讨论题〕函数极限反映了函数值随自变量的变化而变化的趋势。在极限“”定义中，自变量的变化趋势和因变量的变化趋势分别是怎样描述的？你能想出别的描述方法吗？参考资料：对于函数极限，基本变化过程（自变量的变化趋势）是，所能取的每一个值都可以看作是这个过程的一个“时刻”，时刻以后，用来刻划，愈小，时刻愈晚，即愈逼近。是随而决

4、定的（可以要求其充分小）。用来刻划与的接近程度，即用刻划对的逼近程度。“”定义表示如下事实：如果不论多么小，总可以找到一个时刻，在这个时刻以后（用表示），绝对误差变得永远小于，则称当时函数以为极限。极限概念的起源可以追溯到2000多年前，直到德国数学家魏尔斯特拉斯（1815-1897年）给出了现今高等数学教材中的“”定义，极限概念才有了精确的描述。此后，随着人们对自然和社会现象认识的深入（如随机现象与概率论的发展），对极限的认识也在发展。所以对极限描述的新认识还是很有意义的。5、〔第一章复习题讨论题〕小王的爸爸是个农民，小王上大学后，爸爸决定到镇上作一些贩鱼

5、的生意，以增加家庭收入。热天，鲜鱼容易变质，每天贩来的鱼必须当日销售出去，否则就会遭受经济损失，爸爸正为此发愁。小王回家后作了市场调查，得出鲜鱼价格与销量之间的关系如下表。价格（元/kg）3456789101112销量（kg）112111108100887050383128小王凭此制订了每天卖鱼的价格——销量曲线，他爸爸依此确定进货策略与销售策略，使得每天都能获得较多盈利，而且没有发生鲜鱼当天卖不掉的现象，你们能说出小王的作法与他爸爸的策略吗？参考解答：1、小王的做法：作价格——需求量曲线，如图3。123456789101112204060801001201

6、40(价格：元)(需求量：kg)图32、父亲的策略：依据小王作的价格——需求量曲线确定购进与卖出鲜鱼时的价格及数量。此曲线近似为一条直线，一天的贩鱼量与鱼价组成的坐标点若落在直线上或的左下方，则这些鱼当天可以卖出去。设购进鱼的价格为，那么小王父亲这一天能赚的钱对应于矩形的面积，并且应当坚持的原则，矩形面积越大，赚得越多。第二章导数与微分1、〔第二节正文末讨论题〕设新浇混凝土的抗压强度是混凝土龄期的函数。其中是龄期为28天的混凝土设计抗压强度。求混凝土抗压强度的增长速度；若取，求天时，的值。想一想，这组数值说明了什么？参考解答：说明混凝土抗压强度在头一天增长很

7、快，以后逐步减慢，到第28天，强度增长已经很慢。在第7天，强度就达到的58%，剩下的42%的花了21天。2、[第三节正文讨论题]从椭圆一个焦点上发出的光线(或声波)，经椭圆反射后经过另一个焦点。利用这个性质，建筑师们可设计出具有奇妙声光效果的建筑物。你能证明这个性质吗？参考解答：如图4：设椭圆方程为，则焦点为，，。图4设是从发出的光线，投射到椭圆上点处，下面证明它的反射光线必过点。设过点的切线为，法线为，入射角是。如能证得，则反射点必过。直线之斜率，之斜率，的斜率，于是以及代入上式且化简得。同理可得，故。从而，所以反射线必过另一焦点。椭圆的这个性质可以引发建

8、筑师们许多美妙的设计，例如，建造一个椭圆形办公室，讲