高等数学 应用类 第二版 高等数学第六章.ppt

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1、高等数学新世纪高职高专教材编审委员会组编主编关革强第6章行列式、矩阵与线性方程组本章学习目标了解行列式、矩阵的基本概念，并会利用性质计算行列式、矩阵，重点掌握如何运用初等变换求逆矩阵及线性方程组.大连理工大学出版社第6章行列式、矩阵与线性方程组n阶行列式及性质二阶行列式三阶行列式n阶行列式n阶行列式的性质克莱姆(Cramer)法则矩阵(matrix)的概念、运算矩阵的概念矩阵的运算逆矩阵及初等变换逆矩阵矩阵的初等变换线性方程组的消元解法大连理工大学出版社6.1.1二阶行列式二元线性方程组的一般形式是利用消元法求解:(1)×a22

2、-(2)×a12，得(a11a22-a21a12)x1=b1a22-b2a12.(2)×a11-(1)×a21，得(a11a22-a21a12)x2=a11b2-a21b1.当a11a22-a21a12≠0时，方程组（Ⅰ）的解为大连理工大学出版社6.1.1二阶行列式为了便于记忆和讨论，引入一个新的记号来表示a11a22-a21a12，即（6-1）在中，a11、a12、a21、a22是方程组(Ⅰ)中x1、x2的系数，它们按原来的位置排成一个正方形.我们称为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，aij(i=1，2;j=1，2)称为

3、二阶行列式第i行第j列的元素.(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式.大连理工大学出版社6.1.1二阶行列式显然，二阶行列式有二行和二列，共有22个元素.二阶行列式的展开式有2!项.二阶行列式按如下方法展开实对角线(叫做主对角线)上两元素之积取正号，虚对角线上两元素之积取负号，然后相加就是行列式的展开式.这种展开行列式的方法称为对角线展开法.由上可知，二阶行列式等于一个确定的数，这个数称为二阶行列式的值.所以求二阶行列式的值可用对角线展开法.大连理工大学出版社6.1.1二阶行列式【例1】计算下列二阶行列式的值:解(1)(2)大

4、连理工大学出版社6.1.1二阶行列式并且根据对角线展开法，有:记:由于行列式D是由方程组（Ⅰ）中未知数的系数按原来的顺序排列而成的，故称D为系数行列式.显然，行列式D1、D2是以b1、b2分别替换行列式D中的第一列、第二列的元素所得到的.因此，当D≠0时，方程组（Ⅰ）的解可表示为x1=D1/D，x2=D2/D（6-2）大连理工大学出版社6.1.1二阶行列式【例2】解方程组解方程组化为一般形式:因为所以，根据（6-2）式，方程组的解为:x=D1/D=-7/2，y=D2/D=5大连理工大学出版社6.1.2三阶行列式三元线性方程组的一

5、般形式为与二元线性方程组类似，用消元法可求出解的公式为大连理工大学出版社6.1.2三阶行列式用记号来表示a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21-a13a22a31-a12a21a32-a11a32a23，即(6-1)式的左边叫做三阶行列式，右边叫做这个三阶行列式的展开式.三阶行列式的展开可按如下方法展开（如图所示）:实线上三数之积取正号，虚线上三数之积取负号，然后相加就是行列式的展开式，这种展开法则叫做对角线法则.大连理工大学出版社6.1.2三阶行列式【例3】计算行列式的值.解【例4】展开行列式解大连理工大学

6、出版社6.1.2三阶行列式引入记号D、D1、D2、D3，其中行列式D是由方程组(Ⅱ)中未知数的系数按原来的顺序排列而成，叫做方程组的系数行列式，行列式D1、D2、D3是以b1、b2、b3分别替换行列式D中的第一列、第二列、第三列的元素所得到.因此，当D≠0时，方程组(Ⅱ)的解可表示为x1=D1/D，x2=D2/D，x3=D3/D大连理工大学出版社6.1.2三阶行列式【例5】解方程组解方程组化为一般形式:因为所以，根据（6-4）式，方程组的解为:x=D1/D=-9/4，y=D2/D=7/4，z=D3/D=-5大连理工大学出版社6.

7、1.3n阶行列式定义1将行列式中第i行第j列的元素aij所在行和列的各元素划去，其余元素按原来的相对位置次序排成一个新的行列式，这个新的行列式称为元素aij的余子式，记作Mij.把(-1)i+j·Mij称为元素aij的代数余子式，记作Aij，即Aij=(-1)i+j·Mij（6-5）有了代数余子式的概念，容易得到三阶行列式按第一行元素展开为若规定一阶行列式

8、a

9、=a，则二阶行列式按第一行元素展开为大连理工大学出版社6.1.3n阶行列式定义2将n2个数aij(i，j=1，2，3，…，n)排成一个正方形数表，并在它的两旁各加一条竖线

10、，即称为n阶行列式.当n=1时，规定一阶行列式

11、a11

12、=a11;当n≥2时，规定n阶行列式大连理工大学出版社6.1.3n阶行列式【例6】计算行列式的值.解根据定义，大连理工大学出版社6.1.3n阶行列式在n阶行列式中，有一类特殊的行列式，它们形如我们都称它们为