高等数学第七章PPT课件.ppt

《高等数学第七章PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章微分方程第一节微分方程的基本概念内容提要1.微分方程的定义；2.微分方程的阶；3.微分方程的解（通解和特解）；4.微分方程的初始条件和初值问题。教学要求理解和掌握基本概念，特别是通解和特解的定义一、问题的提出例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.解例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度（1）开始制动后多少时间列车才能停住？问米/秒2,（2）在这段时间内列车行

2、驶了多少路程？所以，开始制动到列车完全停住共需令=0得50（秒）.故将（3）代入条件（4）得将（2）代入条件（5）得在这段时间内列车行驶了500（米）.定义1含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程。我们这一章只研究常微分方程，简称为微分方程。二、微分方程例如方程为常数为常数都是微分方程。微分方程中含有的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶。如果微分方程的解中含有任意常数，而且任意常数的个数等于该微分方程的阶数，称这样的解为该微分方程

3、的通解。定义2如果函数y=f(x)代入微分方程能使其恒等，则称此函数为该微分方程的解。不含任意常数的解称为微分方程的特解,其图形称为积分曲线.三、主要问题---求方程的解例3例4对于微分方程对于微分方程是微分方程的通解是微分方程的特解是微分方程的特解是微分方程的通解是微分方程的解是微分方程的解思考与练习说明:通解不一定是微分方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程y=–x及y=C通解就是微分方程的全部解吗？当自变量取x0，未知函数取值y(x0)，或其导数取值y(x0)，这样的用来确定任意常数的条件称为初始条件求微分方程满足

4、初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.例5解(特解?)(通解.)(1)(2)思考：微分方程;解阶;通解初始条件；特解初值问题；四、小结第二节可分离变量的微分方程转化解分离变量方程都是可分离变量方程形如的微分方程，称为可分离变量的微分方程。一、可分离变量的微分方程可分离变量方程的解法:设两个被积函数的原函数分别为解法：将微分方程化为如下形式：2、方程两边求积分：得到这就是可分离变量微分方程的通解。1、分离变量：例1.求微分方程的通解。解:分离变量得两边积分得即(C为任

5、意常数)为方程的通解故得二、经典例题(C为任意非零常数)例2求微分方程的通解解分离变量得两边积分得即由对数性质，得通解例3.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为通解可以是显式形式，也可以是隐式形式。练习：求下列微分方程的通解1、2、3、1、解分离变量即(C<0)两边积分2、求微分方程的通解解两边积分,得得通解方程可化为分离变量,得3、求微分方程的通解:解：分离变量两边积分得分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐（显）式通解.三、小结作业P304习题7-21(1)(3)(7)(

6、8)，2(1)(2)第三节齐次方程一、齐次方程的一阶微分方程称为齐次方程.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程定义1例1求微分方程的通解解化简得是齐次型方程设，则代入得即分离变量得得两边积分得得微分方程的通解移项得即作业P309习题7-31(2)(3)第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程形如称为一阶线性微分方程。1)如果该微分方程称为一阶齐次线性微分方程2)如果该微分方程称为一阶非齐次线性微分方程的方程，特别地例如，微分方程可化为所以，该微分方程是一阶齐次线性微分方程。而微分方程是一阶非齐次线性微分方程。1.一阶齐次线性微分方程分离

7、变量两边积分，得所以通解为指数中的不定积分，计算完成后不再加常数C。的解法即求解例1求方程的通解解1这是一个一阶齐次线性微分方程分离变量得两边积分得所以方程的通解为解2方程改写为所以由公式得通解例1求方程的通解2.一阶非齐次线性微分方程的解法对应线性齐次方程解为常数变易法：将C变易成u(x)得将上式代入线性非齐次方程，得即两边积分得所以线性非齐次方程的通解练习用常数变易法求微分方程的通解:解：方程变形为常数变易，得相应齐次方程为分离变量两边积分求导，得代入非齐次方程，得解得原方程通解为例2解方程解1：先解即积分得即用常数变易法求特解，令则代

8、入非齐次方程得解得所以原方程通解为解2：得原方程通解因为例2解方程一阶非齐次线性微分方程的通解可化为齐次方程通解非齐次方程特解一般地，非齐次线性微分方程的通解等于对