圆锥截线方程的投影分析.doc

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1、圆锥截线方程的投影分析假想用一个平面去剖切圆锥体，圆锥面与该平面的交线叫做圆锥截线。通常所说的圆锥截线是指它的实际形状，为了分析方便，本文先从圆锥截线的三维正交投影谈起。设圆锥轴线垂直于水平面，圆锥母线的倾角为a,截平面的倾角为B，以圆锥顶点作为坐标原点建立直角坐标系，如上图所示。设截平面的正面投影过任一点Q（“，y）。截平面与圆锥面交线（以下简称截交线）的正面投影为一直线，水平投影和侧面投影就是本文所求。由直线方程的点斜式公式，很容易得出截交线正投影的方程z=ytg/3-(/ztg/3-联系正投影和水平投

2、影，很容易得出辅助圆的方程联立式①和式②，消去变量Z可得X2tg2a+y2(tg2^-tg2/3)+2(/ztg/3一v)ytg/3-(/ztg/3->)2=0③式③即为截交线水平投影的方程。联立式①和式②，消去变量y可得x2tg2atg2R+z2(tg2a—tg^〃)+2(“tg/3—p)ztg2a:+(/ztg/3->)2tg2a=0④式④即为截交线侧面投影的方程。截平面与圆锥的相对位置不同，截交线的方程和形状也相应不同。需要分别讨论。在讨论之前，有必要明确a和B的取值范围：0

3、圆锥)0Wy3W90°(否则不必要)一、当(“tgB-y)=0即截平面过圆锥顶点时式③简化为x2tg2a+y2(tg2a-tg2/3)=0⑤式④简化为x2tg2atg2/3+z2(tg2a-tg2/3)=0⑥1、0>a时由式⑤可得y^±,tgKx⑦Jtg2B-tg2a此时截交线的水平投影为过原点的两条直线(特殊情况”二90。时，图像缩为一条直线y=0)o由式⑥可得tgatg/3Jtg2B_tg2a此时截交线的侧面投影为过原点的两条直线(特殊情况0=90。时，图像反映截交线的实际形状z=±xtga)o2、护a

4、时由式⑤可得x=0,即此时截交线的水平投影为与y轴重合的一条直线。由式⑥可得x=0,即此时截交线的侧面投影为与z轴重合的一条直线。3、Ba时式③可变形为：(^itgp-v)Jtg2p-tg2ay(^itgp-v)tgpytg2p-tg2a)((titgp-v)tga\tg2p-tg2a丿此时截交线的水平投影是两条双曲线(特殊情况/3=90°时，由式③可

5、得尸“，图像缩为一条直线)，其实轴在y轴上，顶点坐标为:xo=o；y°=(反祁-v)tg^itga式④可变形为:O、2(

6、itgp-v)tg2atg2p-tg2a丿/(ptgp-v)tgatgp2tg2p-tg2a丿(Rtgp-v)Jtg2p-tg2a/此时截交线的侧面投影是两条双曲线(特殊情况8=90。时，反映其实际形状，此时可由22式④得厂一冷=1)，其实轴在Z轴上，顶点坐标为：(

7、itga)2

8、i2Z=(^itgp-v)tga°tga±tg/3式③可变形为:(kitga-v)tga„2V—X2

9、tga2(

10、itga-v)此时截交线的水平投影是一条抛物线，其对称轴与y轴重合，顶点坐标为:…_(litga-v)y°-2tga式④可变形为:Z=tg2(Xx2-Wtga-v)2(ntga-v)2此时截交线的侧而投影是一条抛物线，其对称轴与z轴重合，顶点坐标为:Xo=0；z0=-»3、B

11、个圆，2),椭圆中心坐标为X=0,y=_(豊七：)；竽,两个半轴长度分别丿tg2a-tg2px2+y2=斗咼七宀柚七宀(litgp-v)tga为：x轴力向〒？°y轴力向一oVtg2a-tg2ptg2a-tg2p式④可变形为:9、2x2+//(^LtgP-v)tgatgPtg2a-tg2p(

12、itgp-v)tg2atg2a-tg2p/_1〒—丄/Rtgg-vJtg2a-tg2p⑭这是一个椭圆方程，即此时截交线的侧而投影为一个椭圆(特殊情况B=0时为一条直线，Z=V)，其中心坐标为：X=0,z=_(貲W讐

13、,两个半轴长度分别为：x轴tg2a-tg2p亠宀^tgP-v咼子宀(^tgp-v)tgatgp方向/°苏;y轴方向一_;—_77—〉Vtg2a-tg2ptg2a-tg2p以上就是圆锥截线的正交投影分析，文中给出了截交线投影的形状和方程。如果需要求出截交线的空间实际形状，只需将侧面投影方程中的Z替换为-牛或者将水平投影方sinp程中的y替换为七即可，读者可以自行推导，本文不再赘述COSp