圆锥截线方程的投影分析

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1、圆锥截线方程的投影分析假想用一个平面去剖切圆锥体，圆锥面与该平面的交线叫做圆锥截线。通常所说的圆锥截线是指它的实际形状，为了分析方便，本文先从圆锥截线的三维正交投影谈起。设圆锥轴线垂直于水平面，圆锥母线的倾角为α，截平面的倾角为β，以圆锥顶点作为坐标原点建立直角坐标系，如上图所示。设截平面的正面投影过任一点Q(μ,ν)。截平面与圆锥面交线（以下简称截交线）的正面投影为一直线，水平投影和侧面投影就是本文所求。由直线方程的点斜式公式，很容易得出截交线正投影的方程z=ytgβ-(μtgβ-ν)①联系正投影和水平投影，很容易得出辅助圆的方程x2+y2=ztgα2②4联立式①和式②，

2、消去变量z可得x2tg2α+y2tg2α-tg2β+2(μtgβ-ν)ytgβ-(μtgβ-ν)2=0③式③即为截交线水平投影的方程。联立式①和式②，消去变量y可得x2tg2αtg2β+z2tg2α-tg2β+2(μtgβ-ν)ztg2α+(μtgβ-ν)2tg2α=0④式④即为截交线侧面投影的方程。截平面与圆锥的相对位置不同，截交线的方程和形状也相应不同。需要分别讨论。在讨论之前，有必要明确α和β的取值范围：0＜α＜90°（否则不成其为圆锥）0≤β≤90°（否则不必要）一、当(μtgβ-ν)=0即截平面过圆锥顶点时式③简化为x2tg2α+y2tg2α-tg2β=0⑤式④简

3、化为x2tg2αtg2β+z2tg2α-tg2β=0⑥1、β＞α时由式⑤可得y=±tgαtg2β-tg2αx⑦此时截交线的水平投影为过原点的两条直线（特殊情况β=90°时，图像缩为一条直线y=0）。由式⑥可得z=±tgαtgβtg2β-tg2αx⑧此时截交线的侧面投影为过原点的两条直线（特殊情况β=90°时，图像反映截交线的实际形状z=±xtgα）。2、β=α时由式⑤可得x=0，即此时截交线的水平投影为与y轴重合的一条直线。由式⑥可得x=0，即此时截交线的侧面投影为与z轴重合的一条直线。43、β＜α时分别由式⑤和式⑥可得X=0且y=0；X=0且z=0此时截交线的水平投影和侧

4、面投影都只是一个点（即坐标原点）。二、当(μtgβ-ν)≠0时，也分下列三种情况讨论1、β＞α时式③可变形为：y-(μtgβ-ν)tgβtg2β-tg2α2(μtgβ-ν)tgαtg2β-tg2α2-x2(μtgβ-ν)tg2β-tg2α2=1⑨此时截交线的水平投影是两条双曲线（特殊情况β=90°时，由式③可得y=μ,图像缩为一条直线），其实轴在y轴上，顶点坐标为：x0=0；y0=(μtgβ-ν)tgβ±tgα式④可变形为：z-(μtgβ-ν)tg2αtg2β-tg2α2(μtgβ-ν)tgαtgβtg2β-tg2α2-x2(μtgβ-ν)tg2β-tg2α2=1⑩此时截交

5、线的侧面投影是两条双曲线(特殊情况β=90°时，反映其实际形状，此时可由式④得z2μtgα2-x2μ2=1)，其实轴在z轴上，顶点坐标为：x0=0；z0=-(μtgβ-ν)tgαtgα±tgβ2、β=α时式③可变形为：y=(μtgα-ν)2tgα-tgα2(μtgα-ν)x2此时截交线的水平投影是一条抛物线，其对称轴与y轴重合，顶点坐标为：x0=0；y0=(μtgα-ν)2tgα4式④可变形为：z=-tg2α2(μtgα-ν)x2-(μtgα-ν)2此时截交线的侧面投影是一条抛物线，其对称轴与z轴重合，顶点坐标为：x0=0；z0=-(μtgα-ν)23、β＜α时式③可变形为

6、：x2(μtgβ-ν)tg2α-tg2β2+y+(μtgβ-ν)tgβtg2α-tg2β2(μtgβ-ν)tgαtg2α-tg2β2=1这是一个椭圆方程，即此时截交线的水平投影为一个椭圆（特殊情况β=0时为一个圆，x2+y2=νtgα2），椭圆中心坐标为x=0，y=-(μtgβ-ν)tgβtg2α-tg2β，两个半轴长度分别为：x轴方向μtgβ-νtg2α-tg2β；y轴方向(μtgβ-ν)tgαtg2α-tg2β。式④可变形为：x2μtgβ-νtg2α-tg2β2+z+(μtgβ-ν)tg2αtg2α-tg2β2(μtgβ-ν)tgαtgβtg2α-tg2β2=1这是一个

7、椭圆方程，即此时截交线的侧面投影为一个椭圆（特殊情况β=0时为一条直线，z=ν）,其中心坐标为：x=0，z=-(μtgβ-ν)tg2αtg2α-tg2β，两个半轴长度分别为：x轴方向μtgβ-νtg2α-tg2β；y轴方向(μtgβ-ν)tgαtgβtg2α-tg2β。以上就是圆锥截线的正交投影分析，文中给出了截交线投影的形状和方程。如果需要求出截交线的空间实际形状，只需将侧面投影方程中的z替换为zsinβ或者将水平投影方程中的y替换为ycosβ即可，读者可以自行推导，本文不再赘述4