线性代数期末辅导.ppt

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1、线性代数期末辅导主要内容一、介绍行列式的性质二、余子式和代数余子式的概念三、矩阵的相关概念（奇异矩阵与非奇异矩阵、逆矩阵的概念和性质）四、逆矩阵的解法（伴随矩阵的公式法、初等变换法）五、线性方程组的有关概念六、线性方程组解的判定定理一、行列式的性质定义将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为DT或D'.性质1行列互换，行列式的值不变.即性质2两行（列）对调，行列式改变符号.推论两行（列）对应元素相同，行列式为0.一、行列式的性质性质3用一个数乘行列式的某一行（列）等于用这个数乘以行列式，

2、即推论1若一行（列）的元素全为0，则行列式值为0．推论2若两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零．一、行列式的性质性质4若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和.一、行列式的性质性质5将行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k后加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变.121100第一行乘以k加到第二行上二、余子式和代数余子式定义河南财经学院信息学院廖扬三、矩阵的相关概念设是奇异矩阵是非奇异矩阵,0,,0称为非奇异矩阵时当称为奇异矩阵时当AAAA¹=定理1矩阵可逆的

3、充要条件是，且逆矩阵的概念和性质定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.,使得例设推论逆矩阵的运算性质例1求方阵的逆矩阵.解四、逆矩阵的解法利用伴随矩阵求逆矩阵同理可得故初等变换法求解逆矩阵例2:求A的逆矩阵．解：注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．第二章小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵是否存在五、线性方程组的有关概念1、n元线性方程组为：例如4元线性方程

4、组2、方程组的系数矩阵A为：“增广矩阵”对做初等行变换，同时也是对A做变换。3、方程组的矩阵形式：系数矩阵A未知量矩阵X常数矩阵B例3写出下列线性方程组的系数矩阵、增广矩阵和矩阵形式解：系数矩阵是增广矩阵方程组的矩阵形式是AX＝B，即由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。4、齐次线性方程组：AX=0如果常数项不全为0，则称为：非齐次线性方程组。5、方程组的解：方程组的解是满足方程组的未知量的一组取值：例如：显然，就是它的一组解。显然：是齐次线性方程组注意：方程组的解可能有惟

5、一解，也可能有无穷多组，也可能是无解。的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为非零解。（1）若则方程组无解。（2.1）若r=n就有唯一解；（2.2）若r

6、程组有无穷多解.（3）当a≠-3时所以方程组有惟一解.注意3个量：1、非齐次线性方程组AX=b的解的情况归纳如下：(1.1)AX=b有唯一解(1.2)AX=b有无穷多解(1.3)AX=b无解2、齐次线性方程组AX=0的解的情况为：(2.1)AX=0只有零解(唯一解)(2.1)AX=0有非零解(无穷多解)注：对于齐次线性方程组没有“无解”的情况。例5解线性方程组：【解】对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即①+②(-2)③+②(-4)②+①(-2)③+①(-1)(②,③)③+②×3③×②×(-1

7、)②+③①+②所以方程组化简为：即方程组的解为：例6解线性方程组：【解】对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即(①,②)②+①(-2)③+①④+①(-4)②×③×④×③+②(-1)④+②(-1)①+②(-3)所以方程组化简为：含有自由未知量的解称为方程组的一般解。例7设线性方程组AX=b的增广矩阵通过初等行变换化为：【分析】先确定基本未知量为：则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为__________。则其余的为自由未知量：解齐次线性方程组一般方法是：(1)写出齐次线性方程组的系数矩阵A；

8、(2)对A施行初等行变换，使A化为行简化阶梯形矩阵；(3)根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。例8设齐次线性方程组为：【解】对系数矩阵进行初等行变换，即②+①(-2)③+①(-3)问：λ取何值时方程组有非零解，并求一般解。③+②(-1)对于齐次线性方程组，要使其有非零解，则要求：此时方程组有非零解。这时系数矩阵变为：①+②×3所以方程组化简为：得方程组的一般解：