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1、《线性代数》期末辅导辅导老师：甄苓行列式的概念第一部分行列式主要内容二阶行列式：三阶行列式:(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．由个数构成的，记作阶行列式行列式的性质与计算性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质3行列式的某一行（列）中的所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.性质4行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.性质6把行列
2、式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则等于两个行列式之和.定义在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作.叫做元素的代数余子式.定理2行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或,,4.克莱姆法则如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即那么，方程组(1)有唯一解,…,,其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即
3、定理3如果线性方程组(1)的系数行列式，则(1)一定有解，且解是唯一的.定理3′如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定义5线性方程组（1）右端的常数项不全为零时，线性方程组（1）叫做非齐次线性方程组，当全为零时，线性方程组（1）叫做齐次线性方程组.对于齐次线性方程组(2)一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组（2）的零解.如果一组不全为零的数是（2）的解，则它叫做齐次线性方程组(2)的非零解.定理4如果线性方程组（2）的系数行列式，则齐次线性方程组（2）没有非零解.定理4′如果线性方程组（2）有非零解，则系数行列式必为零.第二部分矩阵叫做m行n列矩阵（简称m
4、×n矩阵），记为．其中叫做矩阵A的第i行第j列元素．1．矩阵的定义由m×n个数排成m行n列的数表当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵．n阶矩阵与n阶行列式是两个截然不同的概念．只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量;只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量．行数、列数均相等的矩阵称为同型矩阵．设与是同型矩阵，且（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n），则称它们相等，记作A=B．2．特殊矩阵设中每个元素都是零，则称它为零矩阵，记作或O．时，称为n阶单位矩阵，记作En或E．设方阵中，（），则称A为对角矩阵，记为；特别地，当时，即形如的n阶方阵A称为上三角形矩阵．形如的n阶方阵称为下三角形矩阵．矩阵的
5、运算1.矩阵相加2.数乘矩阵3.矩阵相乘特别注意矩阵乘法的下列特性(1)矩阵乘法无交换律，即AB≠BA；特别地，EA=AE=A，即单位矩阵在矩阵乘法中相当于数1在数的乘法中的作用，注意这里的两个单位矩阵可能不同阶。(2)若AB=O，绝不能认为必然有A=O或B=O．例如,,(3)矩阵乘法无消去律，即若AB=AC，绝不能认为必然有B=C．4.矩阵A的行列式，记作
6、A
7、或detA．特别注意｜A±B｜≠｜A｜±｜B｜A≠｜A｜
8、AT
9、=
10、A
11、，
12、A
13、=
14、A
15、
16、AB
17、=
18、A
19、
20、B
21、=
22、B
23、
24、A
25、矩阵的行列式满足（设A、B为n阶方阵，为数）5.矩阵的转置设，称为A的转置矩阵，记为AT．则矩阵矩阵转置
26、的运算律（设运算均可行）(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT;(kA)T=kAT满足条件AT=A的矩阵A称为对称矩阵（其元素以主对角线为对称轴对应相等）．满足条件AT=-A的矩阵A称为反对称矩阵．6．逆矩阵定义:设A为n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记为A－1=B．若A是可逆的，则它的逆矩阵A－1存在且唯一．方阵A可逆的充分必要条件是
27、A
28、≠0．运算律:设A、B均是同阶可逆矩阵，则(A－1)－1=A；(AB)－1=B－1A－1AT也可逆，且(AT)－1=(A－1)T７．伴随矩阵设A为n阶矩阵，称为A的伴随矩阵对于任
29、何一个n阶矩阵A与其伴随矩阵A*都有AA*=A*A=
30、A
31、E由此可见，A*可逆的充要条件是A可逆．８．矩阵的秩(1)矩阵的阶子式在矩阵中,任取行列,位于这些行列交叉处的个元素,按原来它们在A中所处的位置而得到的阶行列式,称为的阶子式.（2)矩阵的秩设在矩阵中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果有的话)都等于0,则称D为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).9.矩阵的初等变换(1)交换矩阵的两行或两
