线性代数考研辅导.ppt

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1、线性代数东南大学数学系周建华1目录第一部分行列式第二部分矩阵第三部分向量第四部分线性方程组第五部分特征值、特征向量第六部分实对称矩阵和二次型第七部分向量空间历年试题2第一部分行列式3一行列式的定义的行列式定义为矩阵4567二行列式的性质不必会证明，但要会熟练运用。82.上述性质的一些推论(1).如果行列式有一行的元素全为零，则其值为零；(2).如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为零；(3).如果行列式有两行的元素对应成比例，则其值为零.93.行列式按行、列展开：104.行列式乘法定理：115.分块矩阵的行列式：12容易出现的错误131415三行列式的计算1.分类：按阶数

2、大小分----低阶、高阶；按元素分----数字、字母。2.典型方法：化成低阶行列式；化成三角形行列式。161718192021其中，每个均不为零。22232425第二部分矩阵26一矩阵的代数运算1.运算规律27282.应当注意的问题问题293031问题：什么时候成立？32二.可逆矩阵矩阵A可逆的条件(1)A的行列式不为零（非退化）；(2)A秩等于其阶数（满秩）；(3)存在矩阵B，使得AB=E（可逆）；(4)A的特征值均不为零（非奇异）。332.逆矩阵的计算利用伴随矩阵。利用初等变换。343.重要性质，如35364伴随矩阵(1).伴随矩阵的定义；3738394041425矩阵

3、方程化成标准形式的矩阵方程。43Lapremiere44三分块矩阵45注：46几种常用的分块法：474849505152535455四矩阵的秩56575859602．矩阵的等价标准形61623.矩阵的运算与秩63646566674.初等变换与初等矩阵68697071向量第三部分72一.概念线性组合和线性表示；线性相关和线性无关；极大无关组和秩731.线性组合和线性表示7475762.线性相关和线性无关7778793.极大无关组和秩80重要结论:8182Ladeusieme83二.常用命题注意命题的不同表达形式。84（2）重要命题8503年考研题（数学一,选择题1,4分）本题

4、得分率：61.9%。86878889（3）更多命题：90919293简化阶梯形矩阵94以给定向量组为列向量作一矩阵A用初等行变换将A化成阶梯形矩阵B找出B中的非零首元A中与这些非零首元相对应的列就是所求向量组的极大无关组向量组极大无关组的求法:95第四部分线性方程组96一.解的存在性、唯一性97二.解的结构齐次线性方程组98齐次线性方程组的解的结构99齐次线性方程组的基础解系100重要结论1011022.非齐次线性方程解的结构103104105三.求解106107108109五平面、直线的相对位置110解：两直线不平行：B的秩为3，故前两行不成比例。111其次，两直线在同一

5、平面内：112113114Latroisieme115第五部分特征值特征向量116117118119120121122123124125126127二.矩阵相似的必要条件128129130131三.可相似对角化问题132注2：133推论：没有重特征值的矩阵一定相似于对角阵。134135136137138139140141142第六部分实对称矩阵和二次型143144145146147148149150151三.二次型的矩阵152153154155156157158159160161已知实矩阵162163对于实称矩阵而言,相似的矩阵是否合同?合同的矩阵是否相似?164Laqua

6、tieme165五.正定性166167168169170171六.二次型与二次曲面172173174175第七部分向量空间176177178179180181182183184185186187188189190191192三.基变换和坐标变换193194195196197198四.向量空间的标准正交基199200201Lacinqieme202历年考题20303年考研题（数学一,填空题,4分）本题得分率：45.4%。20403年考研题（数学一,选择题1,4分）本题得分率：61.9%。20503年考研题（数学一，选择题２，４分）本题得分率：80.2%。20603年考研题（数

7、学一，１０分）本题得分率：36.7%。20703年考研题（数学一，８分）本题得分率：25.8%。20804年考研题（数学一，填空题，４分）20904年考研题（数学一，选择题１，４分）21004年考研题（数学一，选择题２，４分）21104年考研题（数学一，９分）本题得分率：36%。21204年考研题（数学一，９分）本题得分率：29%。21305年考研题（数学一、二，填空题，４分）21405年考研题（数学一、二，选择题１，４分）21505年考研题（数学一、二，选择题２，４分）21605年考研题（数学一、二，９分）217