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《高中数学第二章2.3.2向量数量积的运算律课堂导学案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.2向量数量积的运算律课堂导学三点剖析一、向量数量积的交换律和分配律【例1】已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°,求证:(a-b)⊥c.证法一:∵
2、a
3、=
4、b
5、=
6、c
7、=1且a、b、c之间夹角均为120°,∴(a-b)·c=a·c-b·c=
8、a
9、
10、c
11、cos120°-
12、b
13、
14、c
15、cos120°=0.∴(a-b)⊥c.证法二:如右图,设=a,=b,=c,连结AB、AC、BC的三条线段围成正三角形ABC,O为△ABC的中心,∴OC⊥AB.又∵=a-b,∴(a-b)⊥c.各个击破类题演练1若a、b、c为任意向量，m∈R,则下列等式不一定成立的是()A.
16、（a+b）+c=a+（b+c）B.m（a+b）=ma+mbC.（a+b）·c=a·c+b·cD.（a·b）c=a（b·c）解析:A项是向量加法结合律.B项是向量数乘分配律.C项是向量数量积分配律.故A、B、C项均正确.D项中，（a·b）c表示与c共线的向量，a（b·c）表示与a共线的向量，而c与a一般不共线，∴（a·b）c≠a(b·c）.故选D.答案:D变式提升1（2006湖南高考,理5）已知
17、a
18、=2
19、b
20、≠0,且关于x的方程x2+
21、a
22、x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.［0,］B.［,π］C.［,］D.［,π］解析:据题意,x2+
23、a
24、x+a·b=0有实根,
25、∴Δ=
26、a
27、2-4a·b≥0.∴
28、a
29、2≥4a·b.cosθ==.∴θ∈［,π］.答案:B二、向量的数量积的应用【例2】(本例是一组应用本节知识的题目)1.（2006重庆高考,理7）与向量a=(,),b=(,)的夹角相等,且模为1的向量是()A.()B.()或()C.()D.()或()解析：由题意知a与b垂直,设所求向量为m,则m与a或b所成角为45°或135°,排除A、C.验证B或D中任一个值即可迅速得解.答案:B2.(2006重庆高考,文8)已知三点A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中k为常数.若
30、
31、=
32、
33、,则与的夹角为()A.arccos()B.或arccosC.
34、arccosD.或π-arccos解析:由
35、
36、=
37、
38、,得k=0或6.∴=(-3,-4),=(4,-3)或=(4,3).∴
39、
40、=
41、
42、=5.又∵cos〈,〉=,代入坐标,∴与的夹角为或π-arccos.答案:D3.已知向量a、b的夹角为60°,且
43、a
44、=4,
45、b
46、=2,求(1)
47、3a-4b
48、;(2)(a-b)·(a+2b).解:(1)因为
49、3a-4b
50、2=9
51、a
52、2-24a·b+16
53、b
54、2=9×16-24×4×2×cos60°+16×4=16×7,所以
55、3a-4b
56、=.(2)(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=16+4×2×-2×4=12.类题演练2已知
57、a
58、=
59、b
60、=1,
61、a与b的夹角为,求
62、a+b
63、、
64、a-b
65、的值.思路分析:求向量的模的问题往往转化为求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模及数量积联系起来了.解:因为a·b=
66、a
67、
68、b
69、cosθ=1×1×cos=,所以
70、a+b
71、=.同理,可得
72、a-b
73、==1.变式提升2若非零向量α、β满足
74、α+β
75、=
76、α-β
77、,则α与β的夹角为_________.解析一:如图所示,以α、β为邻边作出OACB,则=α+β,=α-β,又
78、α+β
79、=
80、α-β
81、,即平行四边形OACB的对角线长相等,所以OACB为矩形,所以α⊥β,即它们的夹角为90°.解析二:因为
82、α+β
83、=
84、α-β
85、,所以α2+2α·β+β2=α2
86、-2α·β+β2,即α·β=0.所以α⊥β,即α、β的夹角为90°.答案:90°温馨提示向量问题的几何意义很重要.本题的解法一就是向量运算的几何解法,解法二则运用了向量数量积的代数运算.
