2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(2)及详细解答.doc

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1、2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(2)一、填空题：(每题7分，共70分)1．若cos(α－β)cosα+sin(α－β)sinα=－，又β∈(π，)，则cos＝____________2．已知，，，若△是以为直角顶点的等腰直角三角形，则△的面积为____________3．2012年伦敦奥运会足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛的场次为_____________4．已知在正方体A1B1C1D1−AB

2、CD中,点P是线段A1D(不包括线段端点)上的一点,则二面角P−BC−C1的取值范围是____________5．椭圆＋y2＝1的左右顶点分别为M,N,P为椭圆上任意一点,且直线PM的斜率的取值范围是[,2]，则直线PN的斜率的取值范围是______________6．三个实数成等比数列，若，则的取值范围是__________7．已知曲线C：x2＋y2＝4(x≥0,y≥0)与函数f(x)＝log2x,g(x)＝2x的图像分别交于A(x1,y1),B(x1,y1),则x12＋x22＝__________8．已知函数f(x)＝πsin，如果存在实数、，使得对任意的实数，都有，则

3、x

4、1－x2

5、的最小值是____9.已知A,B是抛物线x2＝2py(p＞0)上的两个动点，O为坐标原点，非零向量满足

6、＋

7、＝

8、－

9、则直线经过一定点的坐标为10．当时，,则函数的最大值等于_________（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）二、解答题：(20分＋30分＋30分，共80分)15．(30分)已知数列{an}中，a1=1,nan+1=2(a1+a2+a3+…+an),n∈N*,（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足b1＝,bn+1＝·bn2＋bn,求证：bn＜1(n≤k)2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(2)答案1、－；2、4；3、51；4、(,

10、)；5、[－,－]；6、−1≤b≤且b≠0；7、4；8、4π；9、(0,2p)；10、6；12、解（1）—得即：，所以，所以（2）由bn+1=得kbn+1=bn(bn+k),进而可用裂项法来构造bn+1与bn的关系。kbn+1=bn(bn+k)得，所以又b1=,bn+1=，所以bn>0,bn+1-bn=,即bn+1>bn>0所以，从而而n≥2,k>n-1,所以>1,即，故bn<1(2≤n≤k)，又因为b1＝<1,故bn<1(n≤k)