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1、抛物线的几何性质目标1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.xOy(4)离心率(5)焦半径(6)通径始终为常数1通径长为2p
2、PF
3、=x0+p/2xOyFP图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2
4、=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔例题例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程,并用描点法画出其图形.例2.一个顶点在坐标原点,焦点在x轴上抛物线截直线2x-y-4=0所得弦长
5、为,求抛物线的方程.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论例3、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。AB设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得所求的标准方程为焦点坐标为例４.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点在抛物线y2=2px(
6、p>0)上,求这个正三角形的边长.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为A.8p2B.4p2C.2p2D.p2作业1.P47习题5,6,72.抛物线y2=2x上距点A(a,0)距离最近的点恰好是抛物线的顶点,求a的取值范围.3.一抛物线形拱桥跨度为52m,拱顶离水面6.5m,一竹排上有一长、宽均为4m，高为6m的大木箱，问能否安全通过拱桥？点与抛物线点与圆、椭圆、双曲线的位置关系及判断方法.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系及判断方法.1.点在抛物线外2
7、.点在抛物线上3.点在抛物线内y02-2px0>0y02-2px0=0y02-2px0<0直线与抛物线1.直线与抛物线相离3.直线与抛物线相交2.直线与抛物线相切xOy(有两个不同的交点相交)或二次项系数为0,方程(组)只有一解,只有一个交点相交证明:与抛物线y2=2px(p>0)的对称轴平行的直线和抛物线只有一个交点.只有一个交点不一定就相切结论1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)x1x2=p2/4;(2)y1y2=-p2;(3)
8、AB
9、=x1+x2+p(4)若
10、直线AB的倾斜角为θ,则
11、AB
12、=2p/sin2θ(5)以AB为直径的圆与准线相切.xOyABθ2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),(1)过P和抛物线顶点的直线交准线于M,则直线MQ平行于抛线的对称轴.(2)过Q作QM⊥准线l,垂足为M,则M、O、P三点共线.(2000年高考题)xOyPQM练习1.已知直线l过点A(-3p/2,p)且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点,则直线l的条数为.2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q
13、(x2,y2),则y1y2=-p2是直线PQ过抛物线焦点的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件例题1.AB是抛物线y2=2px(p>0)上两点,满足OA⊥OB(O为坐标原点),求证:(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值;(2)直线AB经过一定点.(1)逆命题:若横坐标之积为定值4p2(或纵坐标之积为定值-4p2),是否有OA⊥OB?(2)逆命题:若直线AB过定点(2p,0),是否有OA⊥OB?结论抛物线y2=2px(p>0)的轴上有三个点:(1)焦点F:有许多关于焦点弦有关的结论;(2)点(2p,0
14、):过该点的直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),有x1x2=4p2;y1y2=-4p2;OA⊥OB(3)点M(p,0):P为抛物线上任一点,在轴
