等腰三角形的判定与反证法.ppt

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1、一、复习引入定义：(三线合一)等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形。性质1：等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)性质2：等腰三角形的底边上的中线和高线、顶角平分线互相重合。OAB如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？问题情境：探究新知●操作一做一做你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？●操作二量一量，线段AB与AC的长度。画△ABC.使∠B＝∠C＝30°AB=AC怎样用数学推理进行证明呢？ABCD12

2、已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC你还有其他证法吗?证明:作∠BAC的平分线AD∴∠1=∠2在△BAD和△CAD中如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等∠B=∠C(已知)∠1=∠2(已证)AD=AD(公共边)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)∵证明：作AD⊥BC，垂足为D∴∠ADB=∠ADC=900在△BAD和△CAD中，∠B=∠C(已知)∠ADB=∠ADC(已证)AD=AD(公共边）∴△BAD≌△CAD（A.A.S.）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）已知

3、：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC∵□ABCD□ABC如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等几何语言：∵∠B=∠C(已知)∴AB=AC(等角对等边)等腰三角形的判定定理：(简写成“等角对等边”)。注意：在同一个三角形中应用哟！等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是:1.等边等角2.三线合一判定是:等角等边已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.求证:BD=CE.证明：∵DE∥BC∴∠1=∠B,∠2=∠C∵∠1=∠2∴AD=AE(等角对等边)∠B=∠C(等量代换)∴AB=AC(等角对等边)∴AB-AD=AC-A

4、E即BD=CEBCEAD21已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC求证：AB=ADABCD证明：∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB(等量代换)∴AB=AD(等角对等边)∴AB=AC(等角对等边)已知：在△ABC中，∠1=∠3,∠2=∠4，AD平分∠BAC。求证：AD⊥BCABCD1234证明：∵∠1=∠3,∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4即∠ABC=∠ACB∴AB=AC(等角对等边)∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴AD在等腰△ABC的顶角的角平分线上∴AD⊥BC(等腰三

5、角形的“三线合一”)例：如图,上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NAC=40°∠NBC=80°∴∠C=∠NBC-∠NAC=80°-40°=40°∴∠C=∠A∴BA=BC（等角对等边）∵AB=20×（12-10）=40（海里）∴BC=40（海里）答：B处到达灯塔C的距离为40海里。小试牛刀80°40°NBAC北在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F

6、.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系∴∠2＝∠ABO，∠3＝∠ACOOABCEF若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？解：EF=BE+CF理由如下：ABCOEF1324∵EF∥BC∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB∴∠1＝∠ABO∠4＝∠ACO∴BE＝EOFC=FO(等角对等边)∵EF=EO+FO∴EF＝BE+FC求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。EBADC21已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=

7、∠2，AD∥BC求证：AB=AC分析：要证AB=AC，就要证∠B=∠C，而已知有∠1=∠2，只要找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系就可以了。解：∵AD∥BC∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等）∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2∴∠B＝∠C(等量代换)∴AB=AC(等角对等边）EBADC21已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=ACABC从以上讲解我们可以得到什么结论？已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C求证：AB=AC=BC这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一

8、种方法。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。符号语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴　△ABC是等边三角形．细心观察，探索性质等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．CABAB