华东师大版初中数学电子教材-第27章(旧版)-证明2.doc

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1、§27.3用推理方法研究四边形1.平行四边形在第12章中，我们已学过平行四边形的判定方法，我们也可以用逻辑推理的方法来证明这些判定方法．平行四边形判定定理1　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．分析　要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条对角线，然后证明内错角相等． 　　证明　如图27.3.1，连结AC．因为AB∥CD，所以　　　　∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）．在△ABC和△CDA

2、中，因为AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，所以　　　　　　　　△ABC≌△CDA（S.A.S.）．因此　　　∠BCA＝∠DAC（全等三角形的对应角相等），BC∥DA（内错角相等，两直线平行）．所以四边形ABCD是平行四边形．利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．平行四边形判定定理2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理3　两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理4　对角线互相平分的四边形是平行四边形．同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．平行

3、四边形性质定理1　平行四边形的对边相等．已知：如图27.3.2，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB＝CD，BC＝DA．分析　要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论．证明　连结AC．因为四边形ABCD是平行四边形，所以　　　　　　　　　　　　AB∥CD，因此　　　∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）．同理　　　　　　　　　∠BCA＝∠DAC．在△ABC和△CDA中，因为∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，∠BCA＝∠DAC，所以　　　　　　

4、　　　△ABC≌△CDA（A.S.A.），因此　　　AB＝CD，BC＝DA（全等三角形的对应边相等）．由△ABC≌△CDA，我们还可以得出∠B＝∠D，同样也可得出∠BAD＝∠DCB，于是可得：平行四边形性质定理2　平行四边形的对角相等．同样，我们也可证明：平行四边形性质定理3　平行四边形的对角线互相平分．例1　如图27.3.3，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．证明　因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD（平行四边形对边相等）．因为　　　　　　　　　

5、　AE＝CF，所以　　　　　　　　　　　　BE＝DF．又　　　　　　　　　　　BE∥DF，因此四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．所以　　　　　　　　　BF∥DE． 练习 1.求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2.求证：平行四边形的对角线互相平分．3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是边AB、DC的中点．求证：EF＝BC．2.矩形、菱形我们知道矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此它们都具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据矩形的定义，矩形是平行四边

6、形，且有一个角是直角，从而可得：定理矩形的四个角都是直角．根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，而平行四边形的对边相等，因此可得：定理菱形的四条边都相等．我们还可以证明以下一些定理．定理矩形的对角线相等．已知：如图27.3.4，四边形ABCD是矩形．求证：AC＝BD．分析　由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边，因此要证AC＝BD，只要证△ABC≌△DCB． 请你完成证明．定理　菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．已知：如图27.3.5，四边形ABCD是菱形．求证：AC⊥BD；AC平分∠D

7、AB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA．分析　要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．证明　设对角线AC与BD交于点O．因为四边形ABCD是菱形，故AB＝AD，即△ABD为等腰三角形．又BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分），所以AC⊥BD，AC平分∠DAB（等腰三角形的三线合一）．同理，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA．利用矩形的性质，还可以证明下面的定理．定理　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图27.3.6，在Rt△ABC中

8、，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．分析　要证CD＝AB，可以延长CD到E，使DE＝CD，此时只要证CE＝AB．本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形．要判定一个四边形是不是矩形或菱形，除了利用矩形或菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理　有三个角是直角的四边形是矩