华东师大版初中数学电子教材-第27章(旧版)-证明1.doc

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1、第27章　证明2§27.1证明的再认识2阅读材料5图形中的“裂缝”5§27.2用推理方法研究三角形61.等腰三角形62.角平分线83.线段的垂直平分线94.逆命题、逆定理11§27.3用推理方法研究四边形141.平行四边形142.矩形、菱形163.正方形174.等腰梯形185.中位线206.反证法21阅读材料22《几何原本》22小　　结23复　习　题24课题学习25中点四边形25 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第27章　证明逻辑推理是研究数学的一个重要的基本方法，几何学的研究充分运用了这一方法．这就是中国古代伟大的科学家徐光启与他翻译的《几何原本》．§27.1证明

2、的再认识我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜等方法，并在实验、操作中对它们作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．同时我们也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的性质．例如我们曾经遇到如下问题：如图27.1.1，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE＝CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形．解　由于平行四边形对边平行，可得AD∥BC，即　　　　　　　　　　　　　　　AE∥CF，又　　　　　　　　　　　　　　　AE＝CF，由于一组对边平行且相等的四边

3、形是平行四边形，所以四边形AFCE是平行四边形．其中“由于平行四边形对边平行，所以AD∥BC”以及“由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从AE∥CF，AE＝CF，即可推出四边形AFCE是平行四边形”都是逻辑推理．逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此在第24章中，给出了如下的公理：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等．（4）全

4、等三角形的对应边、对应角分别相等．我们还提到，等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据．我们可以在这些公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．第24章中已经用逻辑推理的方法证明了有关平行线的一些命题，下面将继续用逻辑推理的方法证明几何图形的有关命题．回　忆你是怎样知道三角形的内角和是180°的呢？当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180°，或将任一个三角形的三个内角拼在一起（如图27.1.2），发现三角形的三个内角的和等于180°．图27.1.2用测量的方法能保

5、证每次画出的三角形的三个内角的和正好等于180°吗？用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗？为了确保精确无误，人们发现了以下的证明方法．如图27.1.3，任意作一个三角形ABC，延长线段AB到D，并经过点B作BE∥AC．由于BE∥AC，于是根据“两直线平行，内错角相等”，可知∠C＝∠2，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠A＝∠1，由于A、B、D三点在同一条直线上，因此根据平角的定义，∠1＋∠2＋∠ABC＝180°，所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°．于是可知，不论三角形的形状如何，它的三个内角的和等于180°．为了一目了然地把上述证明过程表达出来，我们把证明的每一步的依据写在

6、所得到结论后面，这样上述的证明过程就可以用如下的证明格式表示．已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．证明：如图27.1.3，延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．因为BE∥AC（画图），所以　　　∠A＝∠1　（两直线平行，同位角相等），∠C＝∠2　（两直线平行，内错角相等），又因为　　　　　∠1＋∠2＋∠ABC＝180°　（平角的定义），所以　　　　　　∠A＋∠ABC＋∠C＝180°　（等量代换）．我们把“三角形的内角和等于180°”作为定理．利用这个定理，通过推理，可以得到“n边形的内角和等于（n－2）×180°”这个定理． 例　求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内

7、角的和．已知：如图27.1.4，∠CBD是△ABC的一个外角．求证：∠CBD＝∠A＋∠C．证明：因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°　（三角形的内角和等于180°），所以　　　　∠A＋∠C＝180°－∠ABC　（等式的性质）．又因为　　∠ABC＋∠CBD＝180°　（平角的定义），所以　　　　∠CBD＝180°－∠ABC　（等式的性质）．因此　　　∠CBD＝∠A＋∠C　（等量代换）．由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据