平均值不等式.ppt

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1、均值不等式国际数学家大会（ICM2002）的会标一、情境创设情境创设正方形ABCD的面积>4个直角三角形面积之和当时，中间的小正方形缩为一点，重要不等式定理１：如果，那么（当且仅当时取“=”号）探究11.定理1还可以通过什么得到？基本不等式定理2对任意两个正数有（当且仅当时取“=”号）定理2又称为平均值不等式探究2：ABCDE1、如图,AB是圆的直径，C是AB上与A、B不重合的一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD=＿＿,半径=＿＿＿＿ab半弦不大于半径２、你能用这个

2、图形得出基本不等式几何解释吗?O两个定理的异同：定理1：定理2：同：取等号的条件相同；异：取值范围不同.(定理2中必不可少.)如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件：定理：如果a,b∈R+，那么（当且仅当a=b时，式中等号成立）证明：∵∴即：当且仅当a=b时均值定理：语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称为a，b的算术平均数，称的几何平均数。为a，b为a，b的等差中项，为a，b的等比中项，两个正数的等差中项不

3、小于它们的等比中项。思考：我们已经知道那么，在的条件下，你能比较的大小吗？由此，你可以得到什么结论呢？均值不等式的几种变形公式（当且仅当a=b时取“=”）（当且仅当a=b时取“=”）（2）若（定值）,则当时，和取得最小值当都是正数时：一正、二定、三相等和定积最大积定和最小公式的应用---求函数的最值（1）若（定值）,则当时，积取得最大值下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．２．已知函数　　　　　　　　

4、　　，求函数的最小值．用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．创造条件例1：已知x>2,求函数y=x+1/(x-2)的最小值探究3基本不等式给出了两个正数数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？类比思想应用小结：这节课我们讨论了：注：一、利用基本不等式求某些函数的最值；二、利用基本不等式证明不等式1、利用基本不等式求某些函数的最值时“一正二定三相等”这三个条件缺一不可；2、不能直接利用定理时，要善于转化变形，通过变形达到化归的目的；3、多

5、次运用基本不等式时注意等号成立的条件。