Auerbach 与 Banach 的一个定理的推广.pdf

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1、第2卷第6期数学学报。l2N6l夕0年月HN80r*bh与Bnh的一个定理的推广刘文(河北工学院数学教研室摘要n,。:r,serzbh与Bh曾证明当。<<成l时在满足。阶Liphi条,件的函数中存在函数了(约使关系式}fx`工f()一f()}+CO{}里x’x`~}一{处处成立.本文将推广这个定理,并从而得到如下的推论:设甲(幻是定义在,,:,x[01]上的增函数ilm甲()~o如果甲。)是比,较低阶的无穷小则在连,.。,占甲二)所组成的类中续模()成(的的函数f(存在处处不可微的函数,.,设o<<:蕊1Auebrach与aBanhc曾证明l[J

2、存在一个满足如下条件的函数f劣()`,1,户、尹,。setz满足阶LIPhi条件;`x:)1{f()一f(+COl少黑x``~()}一川.._.Miloslav〔习处处成立J给出了具有以七性质的函数的具体构造本文的目的是要推广Auerbaeh与Banaeh的,:这个定理主要结果如下,甲(幻与必(幻是定义在【01]上满足如下条件的增函数:定理设工万护`、了.、.、ilm甲()~lim必()~0;了、Z`左,j,、产,.x冲+0甲(劣)O二,~+、价()3。当x,充分小时,)(卿如、,,则存在定义在(O1)上的函数了(劝使得,。,古、l)(占)簇甲(

3、占)了、Z乡ù一O、2/。,占二:此处()是f()的连续模’xx){五m!f()一f(,尸咔劣+。价(x一十co..*1977年77日收到1924日月80年月收到修改稿学学报3卷}’)一万)1im十CO7)丫尹一`咔必一)对于任意的〔。,l)成立.,,,x,注显然当。<

4、)中的任意实数可以展开为如下的Canot级数3[Jx夭8X艺目,()一’ql“q走二.“:*为小于叙的非负整数~F(幻用如下的二进小数来定义这里位标令·ulu`,,“oZu〕”,u*o19一一()其中,“,~91xl()1,,,,l,.,“,9是定义域为{012…q一l}而值域为{0l}的任意函数当友>1时按:如下方式定义一1,一,、,。*一1;1)如果叔~叙~o或八~叙一1且叔~q粉一1则令~叽,,2)如果x*~0而x护,钾o或x,~叮*一1而x护;粉叮粉1一l则令u*~1一u粉、;3x*铸*l,)如果0与叮一则令u*~g*xl,xZ,,x*,

5、(…)x;,,,,,,,、其中g,是各变元(i~12…左)分别在{o12…夕一1}中取值而值域为,.{Ol}的任意友元函数,“,xr,xl,易知这样定义的仅依赖于的Canot级数表示的前反个位标即呱是’`’,,`,朴的某个函数“xl,xZ,,x*.*~h*()…注当及一1时或对于夜>1的情况3)有xl,xZ,,x*x,,xZ,,x*.h*(…)一g*(…)又易知,xCanotr级数表示法,“-尽管某些有两种但按上述方式所定义的函数F(x)之值是唯一确定的.事实上,设口团,.义~三生一~三上--艺-艺-1’’`’女二ql二q左左=1qlq七x的两种

6、表示法,是其中。,10X月鑫,`~x及(友<)(),x*0n,11>O一(交>)(),xn,x”一1又~q*一1(左>)(12)~又设按x的这两种表示法由(9)所确定的F(劝之值分别为~0.“lu2“3`”.`~0u;u;u;…`rbllBnh的一个定理的推广期刘文与由于(的第及位小数仅依赖于(的前畏个位标,1故由(0)有4“、“,,~夏(友<)(13)又由(11)有u“,,,*一l一(左>)于是,1一“1夕当一生”+艺”2左2`+12交2粼灸=同理由(12)可得。,脚E叭一妙生犷一.13u~矿于是由()即得.,:“,一1当左>1,作为上述函数的

7、一个特殊情况可以这样来定义叭令时一x*x,一、。,x,守针1一x*。*,u、u1;)如果~一或卜产1且~一l则令,护2,u、~1一“*一.1)对于所有其它情况令,,,,在这个特例中如令宁*~友+l(左=12…).一二+3~生+兰22·32·3·4,~~叫~1丫~生+互+2令反一一I,一,22·32·34万/二飞友!x~则’x且—F劣)一0.111(`..`·劝进位)F(x)一0110111一(F仁下面我们就“一F(幻由(9:)定义的一般情况来证明1.F(劝是一连续函数.xF.,xntor证设与(幻分别由(s)与(9)表示我们约定如果有两种aC级数

8、表,6,.6。充分大使得<示法则取末尾各位标恒为。的那种形式任给>0,取正整数六令广~今`一十亿L,l万一习’`乏=`+1ql曳q左x<