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1、第三章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念自学导引(学生用书P69)1.理解虚数单位的概念.2.理解复数及其有关的概念.3.理解两个复数相等的条件及其在解题中的应用.课前热身(学生用书P69) 1.复数的概念(1)复数与复数集 形如__________________的数叫做复数,其中i叫做__________,全体复数所成的集合叫做__________,用字母________表示. (2)复数的代数形式 复数通常用z表示,z=_______________叫做复数的代数形
2、式,其中a叫做复数z的__________,b叫做复数z的__________.a+bi(a,b∈R)虚数单位复数集Ca+bi(a,b∈R)实部虚部2.复数的分类(1)设z=a+bi(a,b∈R),当且仅当__________时,z为实数.当__________时,z为虚数,当_________________时,z为纯虚数.b=0b≠0a=0且b≠0(2)复数集内的包含关系3.复数相等的充要条件a+bi=c+di(a、b、c、d∈R)的充要条件是__________且__________.a=cb=d名师讲解(学生用书
3、P69)1.数系的扩充(1)为了解决方程x2+1=0在实数集内无解的问题,人们引进了一个新数i,叫做虚数单位,并且规定i2=-1,这样方程x2+1=0,就有解为x=±i.(2)规定i与实数可以进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加､乘运算律仍然成立.这样运算的结果就产生了形如a+bi(a,b∈R)的新数,人们把它叫做复数.(3)数集扩充后有2.复数的代数形式复数a+bi(a,b∈R)中应注意以下几点:(1)a,b∈R必须注明,否则不是代数形式.(2)z是实数⇔b=0.(3)z为纯虚数⇔z=bi(b≠0,b∈R).(4)
4、z为虚数⇔z=a+bi(b≠0,b∈R).(5)z为复数⇔z=a+bi(a,b∈R).3.两个复数相等的充要条件若z1=a+bi,z2=c+di(a､b､c､d∈R)则z1=z2⇔c=a且b=d.利用这一结论,可以把复数问题转化为实数进行解决,并且一个复数等式可以转化为两个实数等式,通过解方程组得到解决.4.两个虚数不能比较大小两个复数除都是实数外,不能比较大小,只有相等关系.典例剖析(学生用书P70)题型一复数的概念例1:判断下列命题的真假.(1)两个复数不能比较大小;(2)若x,y∈C,则x+yi=1+2i的充要条件
5、是x=1,y=2;(3)若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;(4)实数集的补集是虚数集.解析:(1)中当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以(1)为假命题.(2)由于x,y都是复数,故x+yi不一定是代数形式,因此不符合两个复数相等的充要条件,故(2)是假命题.(3)当a=0时,ai=0为实数,故(3)为假命题.(4)由复数集的分类知,(4)正确.规律技巧:判断一个假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类型题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.变式训练1:下列命题中:①若a∈R,则(
6、a+1)i是纯虚数;②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④两个虚数不能比较大小.其中,正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④解析:对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0,b≠0时为纯虚数.在①中,a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故①错;在②中,两个虚数不能比较大小,故②错;在③中,x=-1,不成立,故③错;④正确.答案:D题型二利用复数的概念解题例2:设m∈R,复数z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i).(1)若z为实数,则m=
7、__________;(2)若z为纯虚数,则m=__________.1或2分析:先把复数z写成代数形式,根据a+bi(a,b∈R)是实数,是纯虚数的充要条件解之.解:(1)z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i) =(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i由题意m2-3m+2=0解得m=1或m=2.题型三复数相等的充要条件的应用例3:若实数x､y满足(1+i)x+(1-i)y=2,求x､y的值.分析:由实部､虚部分别对应相等,列出关于x、y的方程组,解方程组得解.规律技巧:本题的解题关键是两个复数相等的充要条
8、件,要注意等号两边均为代数形式,同时体现了复数问题实数化的思想,特别地:a+bi=0(a,b∈R),则a=b=0.变式训练3:已知实数a,x,y满足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点(x,y)的轨迹方程是________.答案:(x-1)2+(y+1)2=2分析:理解运算的定义,利用运算的定义转化为两个复
