人教A版数学名师一号选修2-21.3.1.ppt

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1、§1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数自学导引(学生用书P18)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.课前热身(学生用书P18)函数的单调性与其导数的关系在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内________;如果________,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;若恒有________,则函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.单调递增f′(x)<0f′(x)=0名师讲解(学生用书P18)1.求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(

2、x)的定义域;(2)求导数f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义域内的一切实根;(3)把函数f(x)的间断点(即包括f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;(4)确定f′(x)的各个小区间内的符号,根据f′(x)的符号判断函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.(2)在对函数划

3、分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”联系,而只能用“逗号”或“和”字隔开.(4)一般地,在判断函数的单调性时,如果出现个别点使f′(x)=0不影响包括该点在某个区间上的单调性.如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0,而f′(0)=0,但增区间为(-∞,+∞),因此f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.典例剖析(学生用书P18)题型一求函数的单调区间例1:求下列函数的单调区间.(1)f(x)=ax2+bx+c(a>0)

4、;(2)f(x)=3x2-2lnx.分析:求出导函数f′(x),由f′(x)>0,得增区间.由f′(x)<0,得减区间.规律技巧:求函数单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导函数f′(x);(3)由f′(x)>0得函数f(x)的增区间,由f′(x)<0得函数f(x)的减区间.解:(1)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f′(x)>0,得x>1或x<-1.令f′(x)<0,得-1

5、∈(0,1],若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.分析:f(x)在(0,1]上是增函数,则f′(x)≥0恒成立.规律技巧:(1)若函数f(x)在某个区间上单调递增,则f′(x)≥0在该区间上恒成立;若函数f(x)在某个区间上单调递减,则f′(x)≤0在该区间上恒成立.(2)本题中用到了一个非常重要的转化,即若m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)的最大值;若m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)的最小值.变式训练2:若函数f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,求a的取值范围.题型三函数单调性的应用例3:求证:函数f(x)=ex-x+1在(0

6、,+∞)内是增函数,在(-∞,0)内是减函数.分析:先求导数,再推证在该区间内导数恒大于零或恒小于零,即可证明函数单调性问题.证明:由f(x)=ex-x+1,得f′(x)=ex-1.当x∈(0,+∞)时,ex-1>0,即f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)内是增函数.当x∈(-∞,0)时,ex-1<0,即f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)内是减函数.变式训练3:求证:函数y=xcosx-sinx在(0,π)内是减函数.证明:y′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.当x∈(0,π)时,sinx>0,∴-xsinx<0,即y′<0,在(

7、0,π)内恒成立.∴函数y=xcosx-sinx在(0,π)内是减函数.技能演练(学生用书P19)基础强化1.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是()A.增函数B.减函数C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减D.在(0,π)上减,在(0,2π)上增解析:f′(x)=1-cosx>0在(0,2π)上恒成立,∴f(x)在(0,2π)上为增函数.答案:A答案:C3.若在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.f(x)≥0解析:由题意知f(x)在(a,b)上为增函数

8、,又f(a)≥0,∴在(a,b)内恒有f(x)>0.答案:A4.设f(x)在(a