人教a版数学名师一号选修2-21.4

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1、§1.4生活中的优化问题举例自学导引(学生用书P27)能利用导数解决生活中的优化问题.课前热身(学生用书P27)1.优化问题生活中经常遇到求利润最大､用料最省､效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.2.利用导数求优化问题的步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小.最大(小)者为最大(小)值.典例剖析(学生用书P27)题型一几何中的最值问题例1:横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比,并和高的平方成

2、正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,问断面的高和宽应是多少?分析:首先将实际问题抽象为数学问题,找到强度与宽､高的数学关系.解析:如图,设断面的宽为x,高为y.则当xy2取极大值时,横梁的强度最大.又y2=d2-x2.∴f(x)=xy2=x(d2-x2)(00,当20

3、答:靠墙的一面长20m时,围成的场地面积最大,为200m2.题型二用料最省问题例2:要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐,已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半;而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半,问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省?分析:把圆柱的高用底面半径r表示出来,然后把造价表示为r的函数.规律技巧:本题用半径r把高h表示出来,把实际问题转化为关于半径r的函数问题是关键.变式训练2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,才使得所用材料最省?答:当罐高与底的直径相等时,所用材料最省.题型三成本最低利润最大问题例3:甲､乙两地相距400

4、千米,一汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时.已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本为多少元?(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多少速度行驶?并求出此时运输成本的最小值.分析:根据全程运输成本=每小时运输成本×运输总时间建立函数关系式,然后利用导数方法求最值.答:汽车以60千米/小时的速度匀速行驶时,全程运输成本为1500元.答:当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本最小,最小值为元.规律技巧:用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间内只有一个极值点

5、,那么依实际意义,该极值点就是最值点.变式训练3:已知某工厂生产x件产品的成本为c=2500+200x+x2(元).(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?答:生产100件产品时,平均成本最低为250元.(2)设总利润为W元.W=500x-c=500x-2500-200x-x2=-x2+300x-2500,∴W′=-x+300.令W′=0得x=600.当00,当x>600时W′<0,∴x=600时,W最大=87500.答:要使利润最大,应生产600件.技能演练(学生用书P28)基础强

6、化1.把长度为8的线段分成四段,围成一个矩形,矩形面积的最大值为()A.2B.4C.8D.以上都不对解析:由经验知,矩形的周长一定时,正方形面积最大,所以最大面积为2×2=4.答案:B2.正三棱柱体积是V,当其表面积最小时,底面边长a为()答案:C3.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是则总利润最大时,每年生产的产量是()A.100B.150C.200D.300解析:当0≤x≤400时,Q(x)=400x-x2-20000-100x=-x2+300x-20000.Q′(x)=-x+300.令Q′(x)

7、=0,得x=300.答案:D4.一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积为S,为使窗户周长最小,用料最省,圆的半径应为()答案:C5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能够全部贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则存款利率为多少时,银行可获得最大收益()A.0.012B.0.024C.0.032D.0.036答案:B解析:由题意知,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h