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1、点拨数学有数发散思维揭秘高考试题———2011年高考全国卷理科数学第21题解法探析■隋玉梅王子亮发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方它们所共圆的圆心及半径即可，根据圆的性质可知，向扩散，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解若四点共圆，则圆心为线段AB与线段PQ的垂直平决问题的各种途径．具体地说，就是依据定理、公式分线交点，可得：和已知条件，产生多种想法，广开思路，提出新的设证法一：（如图2）由(I)可知，AB中点坐标为M想，发现和解决新的问题．发散思维富于联想，思路姨211(,),故线段AB垂直平分线方程为：y－=宽阔，善于分解、组合、引申、推广，灵活
2、采用各种422变通方法等，在学习中运用发散思维，可以找到解决姨2姨2姨21(x－)，即y=x+.2424问题的多种方式方法，运用发散思维来处理高考数学试题，可以得到简洁、优美、令人耳目一新、叹为观点P关于点O的对称点为Q,则Q坐标为(姨2,2止的解答.下面通过2011年全国数学卷第21题加以1-（1）分析.1),直线PQ的斜率为=姨2，所以线段姨2－姨2－题目：（2011年全国II理科21题）已知O为22y2坐标原点，F为椭圆C:x2+=1在y轴正半轴上的焦姨2姨22PQ的垂直平分线方程为y=－x,而y=x+22点，过F且斜率为－姨2的直线l与C交与A、B两1
3、姨2与y=－x相交，交点坐姨姨姨姨姨姨42点，点P满足OA+OB+OP=0軋.(I)证明：点P在C上；标为N（－姨2，1），NP＝88（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在一个圆上.（－姨2＋姨2）2＋（－1－1）2姨288（I）分析：要想证明点P在3姨112曲线C上，只需求出点P的坐＝,AB＝姨1＋（－姨2）8标，验证点P的坐标满足曲线C3姨23姨2的方程，从而给出证明.·x2-x1=2，AM=4,MN=证明：(I)设A(x1，y1)，B(x2，y2),y2（姨2＋姨2）2＋（1－1）2＝3姨3,NA＝P(x，y)，由椭圆C：x2+=
4、1知焦姨48288332点F的坐标为(0,1),故直线l的方姨AM2＋MN2＝3姨11，所以NP＝NA，8y2程为y=－姨2x+1，代入椭圆方程x2+=1消去y化NP＝NQ，NA＝NB，故A、P、B、Q四点共圆.2【点评】证四点共圆，可以求出圆心与半径，圆简得：4x2－2姨2x－1=0，∴x1+x2=姨2，y1+y2=－姨2(心的寻找利用弦的垂直平分线过圆心这点来寻找.2姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨【发散思维分析2】由于可以求出四个点的坐标，x1+x2)+2=1.由OA+OB+OP=0軋，可得OP=－(OA+OB)，可故可以先由其中三点确定一个圆，然后验证第四个点
5、姨2得：x3=－(x1+x2)=－,y3=－(y1+y2)=－[－姨2(x1+x2)+2]在它们确定的圆上，故得：2证法二：由证法一可得由A,B,P三确定的圆的姨2（－1）2y2=－1,而(－)2+＝1，故点P在椭圆x2+＝1222方程为(x+姨2)2+(y－1)2=99.将点Q的坐标8864上.(II)(姨2,1)代入方程(x+姨2)2+(y－1)2=99可知28864【发散思维分析1】要证明四点共圆，只需找到满足此方程，故A、P、B、Q四点共圆.高中2011年第7·8期45点拨数学有数【点评】先由某些点确定一个圆，然后在证明其3（x2-x1）=4（x2-x
6、1），同理tan∠AQB=它点在这个圆上，也能证明多点共圆.3xx-3姨2（x+x）+93121222【发散思维分析3】根据证法二可以换个角度思考，若求出A、P、B与A、B、Q所确定的圆的方程y2－1-y1-1姨2姨2相同，则这四点共圆，也就是我们常说的同一法.k-kx2-2x1-（－2）QBQA==证法三：（同一法）这里不再证明.1+kQAkQB1+y2-1·y1－1姨2姨2【点评】不同点确定的圆相同，也起到证明多点x2-x1-（-）22共圆的效果.（x1-x2）=-4（x2-x1），所以∠APB，∠AQB【发散思维分析4】题目中所给的条件是用向量给姨213
7、3x1x2-（x1+x2）+出的，这样很容易想到向量的夹角与四点共圆的判定22方法：若四边形的一个外角等于与它不相邻的内角，互补，因此A、P、B、Q四点在同一圆上.则这四点共圆，所以可以从求图形中的角入手得到：【点评】直线到直线的角公式不常用，但在求两姨2-姨6直线形成的角中也不麻烦.证法四：（如图3）由(I)可求得A(，4【发散思维分析6】根据相交弦定理的逆定理，1＋姨3姨2＋姨61－姨3姨2线段AB与CD相交于O，若满足
8、AO
9、
10、OB
11、=
12、CO
13、
14、OD
15、,),B(，),P(－,－1)，∴2422则A、B、C、D共圆的思想，可得：PP－3姨2＋姨6－3－姨3
16、PP3姨2＋姨6证法六：由题意可知线段
