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时间:2020-02-01
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1、......1.什么是独立平稳增量过程?答:如果对任何t1,t2,⋯,tn∈T,t12、程组解方程组得到:组员:冀江赵怡默陈水清吴锦鑫专业word可编辑.......题目:假设某设备的使用期限为10年,在前5年平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次,试求它在使用期间维修2次的概率.解:λ(t)=0.4(0≤t≤5)λ(t)=0.5(5<t≤10)m(10)=∫050.4dt+∫5100.4dt=4.5p{N(10)-N(0)}=e-[4.5][4.52/2!]题目一:用possion分布的定义验证它的性质三:λ>0,当h↓0时,P{N(t+h)-N(t)=1}=λh+o(h)3、;和性质四:当h↓0时,P{N(t+h)-N(t)≥2}=o(h).证明:题目二:验证possion分布的Xn,n=1,2,⋯分布服从参数为λ的指数分布专业word可编辑.......证明:首先考虑X1的分布,注意到事件{X1>t}等价于事件{N(t)=0},即(0,t]内没有事件发生.因此P{X1>t}=P{N(t)=0}=e-λt,从而P{X1≤t}=1-e-λt.再来看X2,P{X2>t4、X1=s}=P{N(s+t)-N(s)=05、X1=s}=P{N(s+t)-N(s)=0}=e-λt任意的n,t6、S1>0,2>0,...Sn>0有P{N(Xn>t)X1=s,...Xn-1=n-1}3.P{N(t+s1+s2...sn-1)-N(s1+s2...sn-1)=0}=P{N(t)=0}=e-λt所以可证FTn(t)=P{Tn7、Fn)8、Fm)——(1)=E(E(Y9、Fm)10、Fn)——(2)=E(Y11、Fn)——(3)其中FnFm(n12、Fn),有Z是关于Fn可测的.又有F13、nFm,故Z也是Fm可测的.E(Z14、Fm)=Z【2】证(2)=(3)记M=E(Y15、Fm),Z=E(Y16、Fn).相当于要证E(M17、Fn)=Z.验证定义:a.Z确是Fn可测的随机变量.b.对任意AFn,是否有E(MI)=E(ZI)(注意AFn,所以AFm)左端=E(YI)右端=E(YI)左端=右端故成立阳关好暖知识点:泊松过程1.设有非齐次泊松过程{N(t),t,它的均值函数m(t)可以表示为m(t)=,求在t=4,t=5间出现个事件的概率。解:非齐次泊松过程{N(t),t}在[]时间段内出现个件的概率为:18、,(n其中时,于是,所求概率为:专业word可编辑.......2.设{N(t),t是强度为的泊松过程,{是一列独立同分布随机变量,且与{N(t),t独立,令X(t)=,证明:若E(,则E[X(t)]=tE{}。证明:由条件期望的性质E[X(t)=E{E[X(t)19、N(t)]},而E[X(t)20、N(t)=n]=E[=E[(所以E[x(t)]=tE{}.3.某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程,已知商店9:00开门,试求:(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率;(2)若已知开门半小时中21、无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。解:设顾客到来过程为{N(t),t0},依题意N(t)是参数为l的Poisson过程。(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率为:P{N(==(2)在开门半小时中无顾客到来可表示为{N(,在未来半小时仍无顾客到来可表示为{N(1)-N(=0},从而所求概率为:P{N(1)-N()=0}专业word可编辑.......=p{N(1)-N(=022、N(P{N(1)-N(==.知识点:马氏链1.设一个坛子中装有4个球,它们或是红色的,或是黑色的。从坛子中随机地取23、出一个球,并换入一个另一种颜色的球,经过次取球置换,令表示第次取球后坛中的黑球数。1)是否构成马氏链,是否为齐次的,为什么?X(n),n的参数集为T={1,2,3,……n,……},状态集为E={0,1,2,3,4},当X(n)的取值确定时,X(n+1)的取值完全由X(n)确定,故X(n),n为马氏链,与n无关,故为齐次马氏链。专业word可编辑.......2.设{X(t),t³0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明{X(t),t³0}是
2、程组解方程组得到:组员:冀江赵怡默陈水清吴锦鑫专业word可编辑.......题目:假设某设备的使用期限为10年,在前5年平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次,试求它在使用期间维修2次的概率.解:λ(t)=0.4(0≤t≤5)λ(t)=0.5(5<t≤10)m(10)=∫050.4dt+∫5100.4dt=4.5p{N(10)-N(0)}=e-[4.5][4.52/2!]题目一:用possion分布的定义验证它的性质三:λ>0,当h↓0时,P{N(t+h)-N(t)=1}=λh+o(h)
3、;和性质四:当h↓0时,P{N(t+h)-N(t)≥2}=o(h).证明:题目二:验证possion分布的Xn,n=1,2,⋯分布服从参数为λ的指数分布专业word可编辑.......证明:首先考虑X1的分布,注意到事件{X1>t}等价于事件{N(t)=0},即(0,t]内没有事件发生.因此P{X1>t}=P{N(t)=0}=e-λt,从而P{X1≤t}=1-e-λt.再来看X2,P{X2>t
4、X1=s}=P{N(s+t)-N(s)=0
5、X1=s}=P{N(s+t)-N(s)=0}=e-λt任意的n,t
6、S1>0,2>0,...Sn>0有P{N(Xn>t)X1=s,...Xn-1=n-1}3.P{N(t+s1+s2...sn-1)-N(s1+s2...sn-1)=0}=P{N(t)=0}=e-λt所以可证FTn(t)=P{Tn7、Fn)8、Fm)——(1)=E(E(Y9、Fm)10、Fn)——(2)=E(Y11、Fn)——(3)其中FnFm(n12、Fn),有Z是关于Fn可测的.又有F13、nFm,故Z也是Fm可测的.E(Z14、Fm)=Z【2】证(2)=(3)记M=E(Y15、Fm),Z=E(Y16、Fn).相当于要证E(M17、Fn)=Z.验证定义:a.Z确是Fn可测的随机变量.b.对任意AFn,是否有E(MI)=E(ZI)(注意AFn,所以AFm)左端=E(YI)右端=E(YI)左端=右端故成立阳关好暖知识点:泊松过程1.设有非齐次泊松过程{N(t),t,它的均值函数m(t)可以表示为m(t)=,求在t=4,t=5间出现个事件的概率。解:非齐次泊松过程{N(t),t}在[]时间段内出现个件的概率为:18、,(n其中时,于是,所求概率为:专业word可编辑.......2.设{N(t),t是强度为的泊松过程,{是一列独立同分布随机变量,且与{N(t),t独立,令X(t)=,证明:若E(,则E[X(t)]=tE{}。证明:由条件期望的性质E[X(t)=E{E[X(t)19、N(t)]},而E[X(t)20、N(t)=n]=E[=E[(所以E[x(t)]=tE{}.3.某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程,已知商店9:00开门,试求:(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率;(2)若已知开门半小时中21、无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。解:设顾客到来过程为{N(t),t0},依题意N(t)是参数为l的Poisson过程。(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率为:P{N(==(2)在开门半小时中无顾客到来可表示为{N(,在未来半小时仍无顾客到来可表示为{N(1)-N(=0},从而所求概率为:P{N(1)-N()=0}专业word可编辑.......=p{N(1)-N(=022、N(P{N(1)-N(==.知识点:马氏链1.设一个坛子中装有4个球,它们或是红色的,或是黑色的。从坛子中随机地取23、出一个球,并换入一个另一种颜色的球,经过次取球置换,令表示第次取球后坛中的黑球数。1)是否构成马氏链,是否为齐次的,为什么?X(n),n的参数集为T={1,2,3,……n,……},状态集为E={0,1,2,3,4},当X(n)的取值确定时,X(n+1)的取值完全由X(n)确定,故X(n),n为马氏链,与n无关,故为齐次马氏链。专业word可编辑.......2.设{X(t),t³0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明{X(t),t³0}是
7、Fn)
8、Fm)——(1)=E(E(Y
9、Fm)
10、Fn)——(2)=E(Y
11、Fn)——(3)其中FnFm(n12、Fn),有Z是关于Fn可测的.又有F13、nFm,故Z也是Fm可测的.E(Z14、Fm)=Z【2】证(2)=(3)记M=E(Y15、Fm),Z=E(Y16、Fn).相当于要证E(M17、Fn)=Z.验证定义:a.Z确是Fn可测的随机变量.b.对任意AFn,是否有E(MI)=E(ZI)(注意AFn,所以AFm)左端=E(YI)右端=E(YI)左端=右端故成立阳关好暖知识点:泊松过程1.设有非齐次泊松过程{N(t),t,它的均值函数m(t)可以表示为m(t)=,求在t=4,t=5间出现个事件的概率。解:非齐次泊松过程{N(t),t}在[]时间段内出现个件的概率为:18、,(n其中时,于是,所求概率为:专业word可编辑.......2.设{N(t),t是强度为的泊松过程,{是一列独立同分布随机变量,且与{N(t),t独立,令X(t)=,证明:若E(,则E[X(t)]=tE{}。证明:由条件期望的性质E[X(t)=E{E[X(t)19、N(t)]},而E[X(t)20、N(t)=n]=E[=E[(所以E[x(t)]=tE{}.3.某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程,已知商店9:00开门,试求:(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率;(2)若已知开门半小时中21、无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。解:设顾客到来过程为{N(t),t0},依题意N(t)是参数为l的Poisson过程。(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率为:P{N(==(2)在开门半小时中无顾客到来可表示为{N(,在未来半小时仍无顾客到来可表示为{N(1)-N(=0},从而所求概率为:P{N(1)-N()=0}专业word可编辑.......=p{N(1)-N(=022、N(P{N(1)-N(==.知识点:马氏链1.设一个坛子中装有4个球,它们或是红色的,或是黑色的。从坛子中随机地取23、出一个球,并换入一个另一种颜色的球,经过次取球置换,令表示第次取球后坛中的黑球数。1)是否构成马氏链,是否为齐次的,为什么?X(n),n的参数集为T={1,2,3,……n,……},状态集为E={0,1,2,3,4},当X(n)的取值确定时,X(n+1)的取值完全由X(n)确定,故X(n),n为马氏链,与n无关,故为齐次马氏链。专业word可编辑.......2.设{X(t),t³0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明{X(t),t³0}是
12、Fn),有Z是关于Fn可测的.又有F
13、nFm,故Z也是Fm可测的.E(Z
14、Fm)=Z【2】证(2)=(3)记M=E(Y
15、Fm),Z=E(Y
16、Fn).相当于要证E(M
17、Fn)=Z.验证定义:a.Z确是Fn可测的随机变量.b.对任意AFn,是否有E(MI)=E(ZI)(注意AFn,所以AFm)左端=E(YI)右端=E(YI)左端=右端故成立阳关好暖知识点:泊松过程1.设有非齐次泊松过程{N(t),t,它的均值函数m(t)可以表示为m(t)=,求在t=4,t=5间出现个事件的概率。解:非齐次泊松过程{N(t),t}在[]时间段内出现个件的概率为:
18、,(n其中时,于是,所求概率为:专业word可编辑.......2.设{N(t),t是强度为的泊松过程,{是一列独立同分布随机变量,且与{N(t),t独立,令X(t)=,证明:若E(,则E[X(t)]=tE{}。证明:由条件期望的性质E[X(t)=E{E[X(t)
19、N(t)]},而E[X(t)
20、N(t)=n]=E[=E[(所以E[x(t)]=tE{}.3.某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程,已知商店9:00开门,试求:(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率;(2)若已知开门半小时中
21、无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。解:设顾客到来过程为{N(t),t0},依题意N(t)是参数为l的Poisson过程。(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率为:P{N(==(2)在开门半小时中无顾客到来可表示为{N(,在未来半小时仍无顾客到来可表示为{N(1)-N(=0},从而所求概率为:P{N(1)-N()=0}专业word可编辑.......=p{N(1)-N(=0
22、N(P{N(1)-N(==.知识点:马氏链1.设一个坛子中装有4个球,它们或是红色的,或是黑色的。从坛子中随机地取
23、出一个球,并换入一个另一种颜色的球,经过次取球置换,令表示第次取球后坛中的黑球数。1)是否构成马氏链,是否为齐次的,为什么?X(n),n的参数集为T={1,2,3,……n,……},状态集为E={0,1,2,3,4},当X(n)的取值确定时,X(n+1)的取值完全由X(n)确定,故X(n),n为马氏链,与n无关,故为齐次马氏链。专业word可编辑.......2.设{X(t),t³0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明{X(t),t³0}是
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