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《ch03 线性方程组的数值解法-迭代法.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章线性方程组的数值解——迭代法3.4向量与矩阵的范数求解线性方程组误差是不可避免的,因:Ax=b中,A、b往往是前面的计算结果误差分析中:e=
2、x-x*
3、<ε来度量真值与近似值之间的误差??如何估计一个向量(方程组的解向量)、矩阵的误差???如何估计向量、矩阵的大小、“距离”??向量范数定义:Rn空间的向量x的范数
4、
5、·
6、
7、是一个实数,且满足非负性:齐次性:三角不等式:则称
8、
9、·
10、
11、是向量x的一个范数性质:‖x‖≠0时,‖-x‖=‖x‖|‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.常见的向量范数:1-范数:2-范数:∞-范数:p-范数:
12、示例:求x=(1,2,3)T的三种范数定理:向量x,有:范数的等价:设‖·‖a和‖·‖b是Rn上任意两种范数,若存在常数C1、C2>0,使得C1‖x‖a≤‖x‖b|≤C2‖x‖a,则称‖·‖a和‖·‖b等价。
13、
14、x
15、
16、∞≤
17、
18、x
19、
20、2≤
21、
22、x
23、
24、1≤n1/2
25、
26、x
27、
28、2≤n
29、
30、x
31、
32、∞推论:Rn上一切范数都等价向量间的距离:
33、
34、x-y
35、
36、为向量x、y间的距离,故对线性方程组的近似解x*与精确解x间的误差可用两者间的差距(距离)(即范数
37、
38、x-x*
39、
40、)进行刻画向量的收敛性:Rn中的向量序列{x(k)},即:x(0)、x(1)、…x(k),……,其中x(k)=(x1
41、(k),x2(k)x3(k)….xn(k))T,对所有的分量xi(k),均有:则定理:对任意一种向量范数‖·‖而言,向量序列{x(k)}收敛于向量x*的充要条件是由于向量的各种范数是等价的,故只要向量在一种范数下收敛,则另一种范数仍然收敛。针对不同问题可选不同范数进行讨论矩阵范数定义:对任意A∈Rnn,
42、
43、A
44、
45、表示按照一定法则确定的一个实数,且满足:非负性:齐次性:三角不等式:则称
46、
47、A
48、
49、是矩阵A的范数如:定义
50、
51、A
52、
53、=,满足上述三个条件,故也可作为矩阵的范数矩阵的算子范数:A∈Rnn,x∈Rn其中,
54、
55、A
56、
57、是所有非0向量x中,使得比值取得最大或最小上
58、界。则
59、
60、A
61、
62、为向量范数导出的矩阵算子范数算子范数满足相容性条件:‖Ax‖≤‖A‖‖x‖等价定义:所有非0且其范数为1的向量x的集合中,
63、
64、Ax
65、
66、的最大值即为矩阵的算子范数由向量范数
67、
68、·
69、
70、p,诱导出关于矩阵ARnn的范数称为矩阵的p-范数常用的矩阵算子范数(行和范数)(列和范数)(谱范数)表示的最大特征值例:求矩阵的3种范数矩阵的谱半径:对于Rn×n上的矩阵A,设其特征值为λ1,λ2,…λn,称即:特征值模的最大值为矩阵的谱半径性质:Rn×n上的矩阵A,则:ρ(λ)≤
71、
72、A
73、
74、(
75、
76、A
77、
78、为任一种范数)若矩阵A对某个算子范数满足
79、
80、A
81、
82、<1,则必有:
83、I±A可逆1)证明:证明:设λ是矩阵A的任一特征值,其对应的特征向量为x,则有Ax=λx,故
84、
85、λx
86、
87、=
88、λ
89、
90、
91、x
92、
93、=
94、
95、Ax
96、
97、≤
98、
99、A
100、
101、
102、
103、x
104、
105、所以任意
106、λ
107、≤
108、
109、A
110、
111、,故ρ(λ)≤
112、
113、A
114、
115、2)证I±A可逆,用反证法若I±A不可逆,则
116、I±A
117、=0,故方程组(I±A)x=0有非零解向量x,即存在x≠0(向量),使得:Ax=±x成立所以:
118、
119、x
120、
121、=
122、
123、Ax
124、
125、≤
126、
127、A
128、
129、
130、
131、x
132、
133、,又因为x非0向量,故
134、
135、x
136、
137、≠0所以
138、
139、A
140、
141、≥1(矛盾)3)证明:因:(I±A)(I±A)-1=(I±A)-1±A(I±A)-1=I所以:(I±A)-1=I±A(
142、I±A)-1故:
143、
144、(I±A)-1
145、
146、=
147、
148、I±A(I±A)-1
149、
150、≤
151、
152、I
153、
154、+
155、
156、A(I±A)-1
157、
158、≤1+
159、
160、A
161、
162、
163、
164、(I±A)-1
165、
166、故:3.6线性方程组的数值解的误差分析求解Ax=b时,A和b的误差对解x有何影响?常向量b有δb的扰动,bb+δb方程的近似解为x+δx即:即:近似解的相对误差是常向量相对误差的
167、
168、A
169、
170、
171、
172、A-1
173、
174、倍条件数常向量不变,而系数矩阵A有δA的扰动时:条件数结论:当
175、
176、A
177、
178、
179、
180、A-1
181、
182、较小时,方程组的常向量、系数矩阵的扰动,不会引起解向量的巨大变化,此时称该方程在是良态的反之,当
183、
184、A
185、
186、
187、
188、A-1
189、
190、较大时,b、A
191、的微小扰动,会引起解向量的巨大变化(扩大
192、
193、A
194、
195、
196、
197、A-1
198、
199、倍),则该方程组是病态的,对应当系数矩阵也是病态的条件数:矩阵A非奇异,则定义cond(A)=
200、
201、A
202、
203、
204、
205、A-1
206、
207、为该矩阵的条件数相应的几种条件数:性质:参见p963.6线性方程组的迭代解法迭代法基本原理及收敛性判断Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法松弛法1.迭代原理迭代原理:Ax=bx=Bx+f任意给定一个初始解向量x0,代入上式可得:x0x(1)…x(k)的向量序列{x(k)},即:x(k+1)=Bx(k)+f若向量序列收敛,即:则x*为原方程组的精确解,即:Ax*=b收敛
208、性判定:充