数值方法线性方程组的迭代法.ppt

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1、用迭代法解线性方程组Jacoai迭代和Seidel迭代由于收敛速度较慢，已经越来越不适应当前信息时代人们对计算速度和精度的要求，所以在实际应用中使用得并不多。但是，他们体现了迭代法的最基本的思想，是学习其它迭代法的基础。引言直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解,解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法,它的基本思想是将线性方程组Ax=b化为x=Bx+f再由此构造向量序列{x(k)}:x(k+1)=Bx(k)+f若{x(k)}收敛至某个向量x*,则可得向量x*就是所求方程组AX=b的准确解.线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、Seidel迭代

2、法和超松弛(Sor)迭代法.迭代法的特点若在求解过程中xkx*(k)，由xk+1=(xk)产生的迭代xk向x*的逼近，在数次迭代求解之后，由于机器跳动产生的xk值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此，在迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累积误差，实际上，xk只是解的一个近似，机器的舍入误差并不改变它的此性质。迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。为此，下面先介绍这方面的知识和有关概念。单击此处即可几个基本概念及性质1.向量范数：对任一向量X，按一定规则

3、确定一个实数与其相对应，该实数记为

4、

5、X

6、

7、，若

8、

9、X

10、

11、满足下面三个性质：（1）

12、

13、X

14、

15、0，

16、

17、X

18、

19、=0当且仅当X=0。（2）对任意实数，

20、

21、X

22、

23、=

24、

25、

26、

27、X

28、

29、。（3）对任意向量YRn，

30、

31、X+Y

32、

33、

34、

35、X

36、

37、+

38、

39、Y

40、

41、。则称该实数

42、

43、X

44、

45、为向量X的范数2.矩阵范数：设A是NN阶矩阵，定义

46、

47、A

48、

49、=Max（

50、

51、AX

52、

53、/

54、

55、X

56、

57、）=Max

58、

59、AX

60、

61、x0,xRn

62、

63、x

64、

65、=1,xRn为矩阵A的(算子）范数。

66、

67、Ax

68、

69、

70、

71、A

72、

73、

74、

75、x

76、

77、三种常用的向量范数：例：设x=(1,-4,0,2)T求它的向量范数三种常用

78、的矩阵范数：例：设A，求它的矩阵范数矩阵范数的性质：（1）对任意非零矩阵A,有

79、

80、A

81、

82、恒为正数，当且仅当A=0，

83、

84、A

85、

86、=0.（2）

87、

88、aA

89、

90、=

91、a

92、

93、

94、A

95、

96、（a为任意实数）（3）对于任意两个阶相同的矩阵A，B恒有

97、

98、A+B

99、

100、

101、

102、A

103、

104、+

105、

106、B

107、

108、.（4）对于与矩阵A有相同维数的向量X，恒有

109、

110、AX

111、

112、

113、

114、A

115、

116、

117、

118、X

119、

120、.（5）对于同阶矩阵A，B恒有

121、

122、AB

123、

124、.

125、

126、A

127、

128、

129、

130、B

131、

132、谱半径：设nn阶矩阵A的特征值为i(i=1,2,3……n),则称(A)=MAX

133、i

134、为矩阵A的谱半径.1in矩阵范数与谱半径之间的关系为:

135、(A)

136、

137、A

138、

139、.单击此处试做例题5几个定理及定义设{x(k)}为Rn中的向量序列,x(*)为Rn中的向量对矩阵也有类似的结论下一页如果矩阵A=(aij)满足n

140、aii

141、>

142、aij

143、i=1,2,……n,j=1,ji则称方阵A是严格(行)对角占优的.a11a12a13…a1na21a22a23…a2nA=……………=L+D+Uan1an3an4…ann-421例矩阵A=1-972-610ULDJacobi迭代一：设有方程组a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2.............

144、........an1x1+an2x2+····+annxn=bn用矩阵表示：Ax=b（A为系数矩阵，非奇异；b为右端，x为解向量）}上一页假设aii0令cij=-aij/aii(ij)gi=bi/aij,i=1,2,3,n则x1(k+1)=c12x2(k)+c13x3(k)++c1nxn(k)+g1x2(k+1)=c21x1(k)+c23x3(k)++c2nxn(k)+g2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。xn(k+1)=cn1x1(k)+cn2x2(k)++cn(n-1)xn-1(k)+gnJac

145、obi迭代格式若令0c12c13…c1nx1c210c23…c2nx2BJ=……………x=..cn1cn3cn4…0xna11g1a22g=g2易看出：BJ=D-1(D-A)=I-D-1,D=....anngn把方程组写成容易迭代的形式：{Jacobi迭代公式Seidel迭代法为了加快收敛速度，同时为了节省计算机的内存，我们作如下的改进：每算出一个分量的近似值，立即用到下一个分量的计算中去，即用迭代格式：这样所得的迭代法就称为Gauss-Seidel迭代法，也称为“异步迭代法”，简称为GS迭代法．利用Ax=b及A=L+D+U,其中D为对角矩阵,L,U分

146、别为严格下，上三角矩阵．则有，GS迭代法的矩阵形式为:Seidel迭代法的具体形式Seidel