数值分析―第3章 线性方程组的迭代法ppt课件.ppt

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1、第4章线性方程组的迭代法3.1向量和矩阵的范数3.2Jacobi迭代法3.3Gauss-Seidel迭代法3.4迭代法的收敛性3.5逐次超松弛迭代法IterativeTechniquesforSolvingLinearSystems13.1.1向量范数3.1向量和矩阵的范数定义3-1Rn上的向量范数

2、

3、.

4、

5、是一个从Rn到R的函数，它满足以下性质：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)——为了误差的度量22.∞-范数(最大范数)：1.1-范数：3.2-范数：3.p-范数：其中.例计算向量的各种范数.解定义3-2设向量x=(x1,x2,…,xn)

6、T，定义==niixx11

7、

8、

9、

10、

11、

12、v

13、

14、max

15、

16、

17、

18、1inixx=v==niixx122

19、

20、

21、

22、

23、

24、vpnipipxx/11

25、

26、

27、

28、

29、

30、==v注：常用向量范数：3向量序列的收敛性定义3-3设有n维向量序列xk=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T，及n维向量x=(x1,x2,…,xn)T，如果成立，则称{xk}收敛于x，记为定理3-1对任意向量x∈Rn，（1）x的范数‖x‖是各分量x1,x2,…,xn的n元连续函数；（2）x的任意两种范数均等价，即设‖x‖r和‖x‖s为Rn上的任意两种范数，则存在常数m，M，使得m‖x‖r

31、≤‖x‖s≤M‖x‖r，任意x∈Rn；（3）向量序列{xk}收敛于向量x等价于向量序列{xk}依范数收敛于向量x，即向量范数的连续性推论Rn上一切范数都等价。4证（2）只要就证明上式成立即可，即证明存在常数使考虑泛函记则是一个有界闭集.由于为上的连续函数，所以于上达到最大值M，最小值m，设且则从而有即5证(3)显然，于是其中‖·‖为向量的任一种范数.使而对于上任一种范数‖·‖，由(2)，存在常数m,M证明如果在一种范数意义下向量序列收敛时，则在任何一种范数意义下该向量序列均收敛.63.1.2矩阵范数定义3-4如果Rn×n上的某个实值函数

32、

33、.

34、

35、满

36、足：(4)*

37、

38、AB

39、

40、

41、

42、A

43、

44、·

45、

46、B

47、

48、（相容)（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)则称是上的一个矩阵范数（MatrixNorm）.定义3-5如果对于任意一个向量和任意一个矩阵都有不等式：则称矩阵范数和向量范数是相容的。7定义3-6设,，给定一种向量范数(如或∞)，相应地定义矩阵A的一个实值函数(矩阵的算子范数)则称是通过向量范数导出的算子范数，或向量范数的从属范数.定理3-2（行和范数）（列和范数）（谱范数）矩阵ATA的最大特征根8例3-2设，计算的各种范数.解93.1.3矩阵谱半径定义3-7设的特征值为则称为A的谱半径。谱半径R

49、eIm(A)10证明设是的任一特征值，为相应的特征向量，则，由相容性条件得注意到,即得定理3-3设，则对任一种算子范数，均有定理3-4如果，则的充分必要条件是A的谱半径11定理若A对称，则有证明：A对称若是A的一个特征根，则2必是A2的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即2(A)为非负实数，故得证。对某个A的特征根成立所以2-范数亦称为谱范数。123.2Jacobi迭代法考虑线性方程组其中A为非奇异矩阵。迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特点.当A为低阶稠密矩阵时，选主元消去法是有效方法.迭代法适用于求解大型稀疏的线性

50、方程组。基本思想：从一个初始向量出发，按照一定的递推格式，产生逼近方程组的近似解序列。思路与解f(x)=0的不动点迭代相似，将方程组Ax=b等价改写成x=Bx+f形式，从而建立迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f，从x（0）出发，生成迭代序列{x(k)}.13例3-3求解方程组记为,方程组的精确解是.其中现改写为或写为,14其中代入任取初始值，例如取.得到新的值15简写为其中表示迭代次数迭代到第10次有从此例看出，由迭代法产生的向量序列逐步逼近方程组的精确解.以上过程称为Jacobi迭代法。16解Ax=b的雅可比迭代法的分量计算公式Jacobi方法

51、是由方程组第i个方程解出xi得到的等价方程组。Jacobi迭代的矩阵形式17Jacobi迭代法写成矩阵形式：A=-L-UDBJacobi迭代阵其中迭代矩阵常数项183.3Gauss-Seidel迭代法高斯-塞德尔迭代法…………写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭代阵19取，例3-4用Gauss-Seidel迭代法解线性方程组.按高斯-塞德尔迭代公式迭代5次，得，且解20对于任何由变形得到的等价方程组，迭代法产生的向量序列是否都能逐步逼近方程组的解？如方程组构造迭代法则对任何的初始向量，得到的序列都不收敛.注：二种方法都存在收敛性问题。有例子

52、表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能