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1、第五节第五章定积分的应用一、定积分的微元法二、平面图形的面积三、旋转体的体积定积分求曲边梯形的面积问题回顾设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.机动目录上页下页返回结束一、定积分的微元法解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)作近似.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束3)求近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束四个步骤中，由第二步的近似表示式可以确定出被积表达式
2、不妨取于是若记的任一小区间为则称为面积微元，即于是表示为1、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义机动目录上页下页返回结束一个整体量;2、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为微元法(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节目录上页下页返回结束二、已知平行截面面积函数的立体体积第二部
3、分一、平面图形的面积机动目录上页下页返回结束定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为设曲线与直线及y轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点机动目录上页下页返回结束例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面
4、积公式机动目录上页下页返回结束例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束设对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:机动目录上页下页返回结束到2所围图形面积.例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束心形线(外摆线的一种)即尖点:面积:弧长:参数的几何意义二、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元
5、素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束例7.由曲线与直线x＝2所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:取x为积分变量，积分区间为[0,2]，相应于[0,2]上任一小区间[x,x+dx]上有则机动目录上页下页返回结束例8.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下
6、页返回结束例9.求底半径为r高为h的圆锥体体积。解:取坐标如右图所示。则机动目录上页下页返回结束例10.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性机动目录上页下页返回结束绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注注目录上页下页返回结束分部积分注(利用“偶倍奇零”)注目录上页下页返回结束柱壳体积说明:柱面面积机动目录上页下页返回结束偶函数奇函数机动目录上页下页返回结束例11.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故内容小结1.
7、平面图形的面积边界方程极坐标方程直角坐标方程机动目录上页下页返回结束2.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴:(柱壳法)机动目录上页下页返回结束作业第三节目录上页下页返回结束P1881(1),(4);6;9;11(1),(3)。思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分机动目录上页下页返回结束以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.2.试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:方法1利用对称性机动目录上页下页返回结束旋转而成的环体体积V及表面积S.方法2用柱壳法说明:上式可变形
8、为机动目录上页下页返回结束上半圆为下此式反映了环体微
