4-3 矩阵的微分与积分.ppt

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1、4.3矩阵的微分与积分矩阵的微分矩阵的积分其他微分概念应用1.矩阵的微分如果矩阵A(t)=(aij(t))∈Cm×n的每个元素aij(t)都是t的可微函数，则A(t)关于t的导数(微商)定义为：定理1：设A(t)，B(t)可导，则定理2：设A是n阶常数矩阵，则2.矩阵的积分如果矩阵A(t)=(aij(t))∈Cm×n的每个元素aij(t)都在[t0,t]上可积，则称A(t)可积，记为3.其他微分概念(a)函数对矩阵的导数设X=(xij)m×n，mn元函数f(X)对X的导数定义为：例1设求例3设A是n阶矩阵，x=[x1,…,xn]T，f(x)=xTAx，求df/dx。例2设b是n维列

2、向量，x=[x1,…,xn]T，f(x)=xTb，求df/dx。例4设A∈Rm×n，b∈Rm，若x∈Rn使得

3、

4、Ax-b

5、

6、2=min，则ATAx=ATb。例5设X=(xij)∈Rn×n，f(X)=[tr(X)]2，求(b)函数矩阵对矩阵的导数设X=(xij)m×n，有rs个mn元函数fkl(X)写成函数矩阵的形式：则F对X的导数定义为：例6设F(x)=[f1(x),f2(x),…,fl(x)]，则例7设A是一个常数矩阵，则令则可以写成矩阵形式：非齐次微分方程齐次微分方程4.应用其中c是任意常向量。若再加上初始条件x(t0)=x0，则其解为例8设矩阵定理3：齐次微分方程的通解为：求

7、满足x(0)=[101]T的齐次微分方程的解。其中x1(t)=etAc是对应齐次微分方程的通解，x2(t)是原非齐次微分方程的一个特解。常向量c由初始条件确定。如何计算一个特解？常向量变易法，即设定理4：非齐次微分方程的通解可以表示为：带入原非齐次微分方程有由此可以解出一个c(t)，即得到一个特解。例9设求满足初始条件的非齐次微分方程的解。