《数值积分与微分》PPT课件.ppt

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1、第5章数值积分1机械求积2牛顿-柯特斯公式3龙贝格算法4高斯求积公式5数值微分引言依据微积分基本定理,只要找到被积函数的原函数，，便有牛顿-莱伯尼兹公式由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数，而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。数值求积的基本思想依据积分中值定理，就是说，底为而高为的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。取内若干个节点处的高度，通过加权平均的方法生成平均高度，这类求积公式称机械求积公式：式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴随节点的

2、权。代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。如果机械求积公式对均能准确成立，但对不准确，则称机械求积公式具有次代数精度。事实上，令求积公式对准确成立，即得可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。插值型的求积公式设已给在节点的函数值，作插值多项式其中由于多项式的求积是容易的，令这样得到的求积公式称为插值型的求积公式，其求积系数为定理机械求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。牛顿－柯特斯公式设分为等份，步长，取等分

3、点构造出的插值型求积公式（其中）称作阶牛顿－柯特斯公式。一阶和二阶牛顿－柯特斯公式分别是梯形公式辛甫生公式四阶牛顿－柯特斯公式，也称为柯特斯公式：几种低阶求积公式的代数精度阶的牛顿－柯特斯公式至少有次代数精度，事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得“额外”的好处，它们分别有3次和5次代数精度。因此，在几种低阶的牛顿－柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。几种低阶求积公式的余项利用线性插值的余项公式以及积分中值定理，我们可以得到梯形公式的余项：利用埃尔米特插值的余项公式以

4、及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项：另外，我们可以得到如下柯特斯公式的积分余项：复化求积公式复化求积公式复化梯形公式有如下形式：其余项为：在利用插值求积公式求积分时，为了提高精度有两种途径。一是提高积分区间上的插值多项式的阶数，从而也就提高了求积公式的阶数。但是，由于插值多项式的阶数越高，其逼近性质未必好（即精度未必能提高），因此，牛顿-柯特斯公式的阶数越高，其积分精度也未必提高，工程上一般只作到六阶牛顿-柯特斯公式（即龙贝格公式）为止。二是采用复化公式，尽量减小每一个求积小区间的长度。在实际应用时，往往将这两种方法混合使用，

5、以便提高求积的精度。变步长求积法在数值积分中，精度是一个很重要的问题，如果误差太大，就没有实际意义。为了提高精度，通常需要在复化求积公式中尽量减小各细分小区间的长度，即减小步长h。显然，如果步长h取得太大，则精度就难以得到保证；但是，如果步长取得太小，则计算工作量也就随之增大，并且，由于项数的增加，其误差的积累也就增大。因此，在采用复化公式求积时，关键的问题是合理地选择步长（即合理选择对整个积分区间的细分数），以便既能满足精度要求，又不致于引起过多的误差积累和过大的计算工作量。在实际计算过程中，通常采用变步长的求积法。变步长梯形求积法

6、变步长求积法的基础是复化梯形公式，但并不是先确定对积分区间的细分数，而是根据精度要求逐步将区间细分。并且在对区间细分的过程中，为了尽量避免被积函数值的重复计算，总是对原先的小区间再二等分一次，以便充分利用原来结点上的函数值。变步长梯形求积法的基本过程(1)首先利用梯形公式计算积分值。这相当于将积分区间一等分，即n＝1，h＝b－a则有Tn＝即实际上为T1＝[f(a)＋f(b)]变步长梯形求积法的基本过程(2)将每一个求积小区间再二等分一次（即由原来的n等分变成2n等分），则有其中为再二等分一次后新增加的结点，它们都是原来各小区间的中点；

7、f()为新增加结点上的函数值。由上式可以看出，在对每一个小区间再二等分后，在积分值T2n的第一项中只包括再二等分之前的各结点上的函数值，并且第一项的值正好是再二等分之前积分值Tn的一半，显然，这一项中所包含的函数值就不必计算了。再二等分后需要计算的函数都包含在第二项中，它们都是二等分后出现的新的结点。因此有变步长梯形求积法的基本过程(3)判断二等分前后两次的积分值之差的绝对值是否小于预先所规定的精度要求，即T2n－Tn

8、＜ε若不等式成立，即表示已经满足精度要求，二等分后的积分值T2n就是最后结果，即若不等式不成立，则保存当前的等分数、

9、积分值与步长，即转第(2)步继续作二等分处理。变步长求积法变步长求积法是以梯形公式为基础，逐步改变步长，以达到预先所要求的精度。在变步长梯形求积法的递推公式中，Tn是二等分前的积分值，而右端的第二项只涉及到二等分时新增加