第9章_数值积分与数值微分ppt课件.ppt

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1、进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇到被积函数f(x)的下列一些情况：的原函数对定积分的被积函数已知，在高等数学中可用牛顿—莱布尼兹公式实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.9.1数值求积的基本思想第9章数值积分与数值微分（4）f(x)本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图形给出，列如为实验或测量数据.（2）f(x)的原函数不能用初等函数形式表示，例如（3）f(x)的原函数虽然可用初等函数形式表示，但其原函数表示形式相当复杂，例如（1）f(x)复杂，求原函数困难，列如以上的4种情况都不能用牛顿—

2、莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题；另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的方法。由积分中值定理,对连续函数f(x),在区间[a,b]内至少存在一点，使只要对平均高度f()提供一种近似算法,便可相应地获得一种数值求积方法.即所谓矩形公式.例如,用区间[a,b]两端点的函数值f(a)与f(b)的算术平均值作为f()的近似值,可导出求积公式这便是人们所熟知的梯形公式.如果改用区间[a,b]的中点c=(a+b)/2处

3、的函数值f(c)近似代替f(),则又可导出所谓(中)矩形公式一般地,在区间[a,b]上适当选取点xk(k=0,1,,n),然后用f(xk)的加权平均值作为f()的近似值,可得到更为一般的求积公式其中：点xk叫求积节点,系数Ak叫求积系数.Ak仅与节点xk的选取有关,而与被积函数f(x)无关.求积公式的截断误差为R(f)又称为求积余项.这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛-莱公式寻求原函数的困难.9.2.1代数精度的概念定义1如果求积公式(1)对所有次数不超过m的多项式都精确成立；(2)至少对一个m+1

4、次多项式不精确成立，则称该公式具有m次代数精度(或代数精确度).数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念.一般来说，代数精度越高，求积公式越好。结论一个求积公式具有m次代数精度的充要条件是该求积公式:(1)对xk(k=0,1,…,m)精确成立；(2)对xm+1不精确成立.故一般地，要验证一个求积公式具有m次代数精度，只要令对于f(x)=1,x,,xm求积公式精确成立等式就行.即对于求积公式给定n+1个互异的求积节点x0,x1,,xn-1,xn,令求积公式对f(x)=1,x,

5、,xn精确成立,即得求解该方程组即可确定求积系数Ak,所得到的求积公式至少具有n次代数精度.解当f(x)=1时,此时公式精确成立。例1验证梯形公式具有一次代数精度。当f(x)=x时，公式也精确成立.当f(x)=x2时，公式对x2不精确成立.故由定理1知,梯形公式的代数精度为1次.例2确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.解令f(x)=1,x,x2代入公式两端并令其相等，得解得得求积公式为令f(x)=x3，得令f(x)=x4，得故求积公式具有3次代数精度.如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间[a,b]的等距分点作为

6、节点，这时取m=n求解方程组即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有n次代数精度.本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例.如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个确定参数xk和Ak的代数问题.方程组(1.4)实际上是一2n+2个参数的非线性方程组，此方程组当n>1时求解非常困难，但当n=0及n=1的情形还是可以通过求解方程组得到相应的求积公式.下面对n=0讨论求积公式的建立及代数精确度.此时求积公式为其中，x0及A0为待定参数.根据代数精确度定义可令f(x)=1,x，由方程组知.得得到的求积公式就是(1.2)式的中矩形公式.再令f(x)=

7、x2，代入(1.4)式的第三式说明(1.2)式对f(x)=x2不精确成立，故它的代数精确度为1.方程组(1.4)是根据(1.3)式的求积公式得到的，按照代数精确度的定义，如果求积公式中除了f(xi)还有(x)在某些节点上的值，也同样可得到相应的求积公式.例3给定形如下面的求积公式，试确定系数A0,A1,B0,，使公式具有尽可能高的代数精确度.解根据题意可令f(x)=1,x,x2分别代入求积公式使它精确成立：解得当f(x)=x3时，上式右端为1/3，而左端是于是有求积公式故积分公式对f(x)=x3不精确成立，其代数精确度为2.9.2.2插值型的求积公式设给

8、定一组节点且已知f(x)在这些节点上的函数值f(xk