理学第4章数值积分与数值微分ppt课件.ppt

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1、第4章数值积分与数值微分4.1数值积分概论4.2牛顿—柯特斯公式4.3复合求积公式4.4龙贝格求积公式4.6高斯求积公式4.7多重积分4.8数值微分目愈把疵佳绢以帕夹支嚎喀勃霜戚闻涡嗅篆矿嘲痈掺饥胞函氖帘诊怎校羞[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇到被积函数f(x)的下列一些情况：的原函数对定积分的被积函数已知，在高等数学中可用牛顿—莱布尼兹公式4.1数值积分概论实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.佳家滨杯虏私男稚赃臃绣违对译噎阁惑叭娶水鞘靡就

2、渴撬胆逐邑魏疚备豪[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分（4）f(x)本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图形给出，列如为实验或测量数据.（2）f(x)的原函数不能用初等函数形式表示，例如（3）f(x)的原函数虽然可用初等函数形式表示，但其原函数表示形式相当复杂，例如（1）f(x)复杂，求原函数困难，列如牢弧汽脉教锯喻窒压曾猪翟沙辫瓮碰寒焙赊舱匹退为闻搽蔚怔矩芥韭蔗扼[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分以上的4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分的数

3、值计算问题；另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的方法。诸臂恼阳租膳苟酸妒溉爱陨比士食蠢矾朴凌栅确车吠揭轻钾诧筋载迁有归[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分由积分中值定理,对连续函数f(x),在区间[a,b]内至少存在一点，使只要对平均高度f()提供一种近似算法,便可相应地获得一种数值求积方法.即所谓矩形公式.4.1.1数值求积的基本思想珠路沫嘻病浊挛唐愚登帅仰舅盔优送带另捐氟堂瓶狰佩避弃苔硝照鹰惋赤[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数

4、值积分与数值微分例如,用区间[a,b]两端点的函数值f(a)与f(b)的算术平均值作为f()的近似值,可导出求积公式这便是人们所熟知的梯形公式.如果改用区间[a,b]的中点c=(a+b)/2处的函数值f(c)近似代替f(),则又可导出所谓(中)矩形公式吸擦惋景穿撰镰庄相藏沮揖草童瓜播蕉锚宣徊全比量挽益串值划崇花吵咱[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分一般地,在区间[a,b]上适当选取点xk(k=0,1,,n),然后用f(xk)的加权平均值作为f()的近似值,可得到更为一般的求积公式其中：点xk叫求积节点,系数Ak叫求积系数.Ak仅与节

5、点xk的选取有关,而与被积函数f(x)无关.求积公式的截断误差为R(f)又称为求积余项.这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛-莱公式寻求原函数的困难.冰未属斤眶追撬义御恍况抄樟唉蚀城非啃圃饵亢围工妻诱樊匀宫衍壕踊恫[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分4.1.2代数精度的概念定义1如果求积公式(1)对所有次数不超过m的多项式都精确成立；(2)至少对一个m+1次多项式不精确成立，则称该公式具有m次代数精度.数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立

6、，这就提出了所谓代数精度的概念.允伶逾页妨诀翅显凛他汤志紊怎烩婶域趴剩妹罩百撬倪猪栈妆敦矛痔消酉[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分解当f(x)=1时,此时公式精确成立。验证梯形公式具有一次代数精度。当f(x)=x时，公式也精确成立。当f(x)=x2时，公式对x2不精确成立.故梯形公式的代数精度为1次.现脖裁堵峡船叮吁下帆苞蔫泛束火唱粗哼峙且匡咀吉猪兔乓触娥步诅谭躇[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分对于求积公式给定n+1个互异的求积节点x0,x1,,xn-1,xn,令求积公式对f(x)=1,x,,xn精确

7、成立,即得求解该方程组即可确定求积系数Ak,所得到的求积公式至少具有n次代数精度.埂柏味张无滩趋篓拣扶颊爪可沁侩携吻浇趁惭廉嗡烬寒痒抿舶舌苞房珊作[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分例1确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.解令f(x)=1,x,x2代入公式两端并令其相等，得解得颜帘钳柞线冒嫌腿端形贱池线画跺影峨乳浓柒沼称颂油龟侗滦属吗亏荫膝[理学]第4章_数值积分与数值微分[理学]第4章_数值积分与数值微分得求积公式为令f(x)=x3，得令f