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1、第8章MATLAB数值积分与微分8.1数值积分8.2数值微分8.1数值积分8.1.1数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。8.1.2数值积分的实现方法1．变步长辛普生法(自适应simpson积分法)基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
2、[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10e-6。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。例1求定积分(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=
3、0.9008n=77例题2求定积分>>quad(inline(‘exp(-x.^2)’),-1,1,0.5e-4)或者quad(@(x)exp(-x.^2),-1,1,0.5e-4)2．牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。例3求定积分。
4、(1)被积函数文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)调用函数quad8求定积分。I=quad8('fx',0,pi)I=2.4674例4分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。调用函数quad求定积分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65调用函数quad8求定积分：formatlong;fx=inl
5、ine('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=333．非函数表达式梯形积分（被积函数由一个表格定义）在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。trapz(X,Y)采用梯形法计算Y在X点上的积分。例5用trapz函数计算定积分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量trapz(X,Y)例6x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);trapz(x,
6、y)4.自适应Lobatto方法quadl命令适用于光滑函数，quadl调用被积函数的次数明显少于quad命令，而且精度比quad函数更高，其调用格式与quad一样[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)5.quadgk对振荡的被积函数最有效，支持无限区间积分（高版本版才有此命令）8.1.3重积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分
7、。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。例计算二重积分>>dblquad('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)',-2,2,-1,1)6.quad2d平面区域二重积分，可以做变上下限积分（高版本版才有此命令）7.triplequad用于计算长方体区域上的三重积分例计算>>fun=@(x,y,z)4*x.*z.*exp(-x.^2-y.*z.^2)>>S=triplequad(fun,0,pi,0,pi,0,1)8.int符号函数积分
