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《线性代数历年考研试题之计算题与证明题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、三、计算题与证明题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.解方法一:.(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组无解或无穷多解,此时.①当时,,方程组有无穷多解;此时,方程组的通解为为任意常数;②当时,,方程组无解.综上可得:(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组有无穷多解;(3)当时,方程组无解.方法二:方程组的系数行列式.(1)当时,方程组有惟一解;(2)以下同方法一.【注意】(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性
2、,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是:①方程的个数等于未知数的个数;②方程组的系数行列式含参数.(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设为阶矩阵,和是的两个不同的特征值;是分别属于和的特征向量,试证明不是的特征向量.【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.解反证法:假设是的特征向量,则存在数,使得,则.因为,所以线性无关,则.矛盾.【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵和满足关系式,其中,求矩阵.【考点】解矩阵
3、方程.解由.4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组【考点】求解非齐次线性方程组.解.由,得方程组有无穷多解.方程组的解,令得方程组的通解为任意常数.5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵的实特征值及对应的特征向量.【考点】求矩阵的特征值及特征向量.解,得的实特征值.解得其对应的特征向量,其中为不为零的任意常数.6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知,其中,求及.【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.解..【注意】若,则;一般地,设,则方阵的多项式.7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵与相似:(1)求与;（2）求一个满足的可逆矩阵.【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法.解(1)方法一:与相似,则,
4、即,比较系数,得.方法二:的特征值为.由与相似,则的特征值为.故.【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.(2)分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为.令可逆矩阵,则.8.(1988—Ⅳ)设3阶方阵的伴随矩阵为,且,求.【考点】矩阵运算的性质.解,所以.或,则.【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:;9.(1988—Ⅳ,Ⅴ)设向量组线性无关,且，讨论向量组的线性相关性.【考点】向量组的线性
5、相关性的判别方法.解方法一:设,即.因为线性无关,则,其系数行列式.(1)当为奇数,,方程组只有零解,则向量组线性无关;(2)当为偶数,,方程组有非零解,则向量组线性相关.方法二:显然,因为线性无关,则(1)为奇数时,,则向量组线性无关;(2)为偶数时,,则向量组线性相关.【注意】(1)已知可由线性表示的具体表达式,且线性无关时,用方法二求解一般较简便.(2)若可逆,则.一般地,即乘积矩阵的秩不小于每一个因子的秩.10.(1988—Ⅳ,Ⅴ)设线性方程组为,问与各取何值时,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解方法一
6、:(一般情形).(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,,则①当时,,方程组无解;②当时,,方程组有无穷多解,且,则通解(一般解)为为任意常数.*综上:当时,方程组有惟一解;当且时,方程组无解;当且时,方程组有无穷多解,且一般解为*式.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式.(1)当时,方程组有惟一解;以下同方法一.11.(1988—Ⅴ)已知阶方阵满足矩阵方程.证明可逆,并求出其逆矩阵.【考点】抽象矩阵是求逆.解由可逆,且.12.(1989—Ⅰ,Ⅱ)问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.解.线性方程
7、组有解,其通解为为任意常数.13.(1989—Ⅰ,Ⅱ)假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明:(1)为的特征值;(2)为的伴随矩阵的特征值.【考点】特征值的概念.证(1)设对应于特征值的特征向量为,则.(2).14.(1989—Ⅳ,Ⅴ)已知,其中,求矩阵.【考点】解矩阵方程.解.15.(1989—Ⅳ)设.（1）问当为何值时,向量组线性无关?（2）问当为何值时,向量组线性相关?（3）当向量组线性相关时,将表示为和的线性组合.【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论及求向量由向量组线性表示的具体表示式.解方法一:(一般情形)
