工学类线性代数历年考研试题

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1、附录1工学类线性代数历年考研试题一填空题1．(1987.I,II)已知三维线性空间的一组基底为,则向量在上述基底下的坐标是2．(1988.I,II)设矩阵,其中均为4维列向量，且已知行列,则行列式【注】=83．(1989.I,II)设矩阵，则逆矩阵=4．(1990.I,II)已知向量组，则该向量组的秩是【注】令对施以行初等变换因为==2，即向量组的秩为2.625．(1991.I,II)设4阶方阵,则的逆阵=6．(1992.I,II)设，其中，则矩阵的秩=【注】的不为零子式的最大阶数为1.7．(1993.I,II)设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为【注】的解空间

2、的维数为，且是它的一个基础解系.8．(1994.I,II)已知，设，其中是的转置，则=【注】由于故62=9．(1995.I,II)设三阶方阵满足关系式，且,则10．(1996.I,II)设是矩阵，且的秩，而，则【注】由于故可逆，从而有11．(1997.I)设，为三阶非零矩阵,且，则【注】由于，知且故因此故12.(1997.II)已知向量组的秩为2,则13.(1998.I)设为阶矩阵,为的伴随矩阵,为阶单位阵,若有特征值,则必有特征值【注】由于知从而即具有特征值，故62的特征值为14.(1999.I)设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是【注】为对称矩阵且秩为1，故其非零特征值只有一个.又由

3、知为的特征值，因此的个特征值为.15.(2000.I)已知方程组无解,则【注】设方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为与，对与作初等变换：由此知当时方程组无解.16.(2000.II)设,为4阶单位矩阵,且,则【注】由得从而于是故得所求答案.17.(2001.I)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则18.(2001.II)设方程组有无穷多个解,则62【注】因为原方程组有无穷多个解，故由此得容易验证，当时原方程组无解；当时原方程组有无穷多个解.19.(2002.I)已知实二次型经正交变换可化成标准型,则【注】所给二次型矩阵为此矩阵的特征值分别为由题设可知故或主对角线元素之和等于特征值之和，故有得20.

4、(2002.II)矩阵的非零特征值是21.(2003.I)从的基到基的过渡矩阵为【注】设所求过渡矩阵为，则22.(2003.II)设为3维列向量,是的转置,若,则=【注】设则从而又故23.(2003.II)设三阶方阵满足,其中为三阶单位阵,若62,则24.(2004.I,II)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则【注】由知，两边取行列式，得而故.25.(2005.I,II,IV)设均为3维列向量,记矩阵,如果,那么【注】由行列式的性质知=或26.(2006.I,II,III)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则【注】由得而故.二.选择题1.(1987.I,II)设为阶方阵,

5、且的行列式,而是的伴随矩阵,则等于(C)62(A).(B).(C).(D).2(1988.I,II).维向量组线性无关的充分必要条件是(D)(A)存在一组不全为零的数,使.(B)中任意两个向量都线性无关.(C)中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.(D)中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.【注】此为“向量组线性相关的充分必要条件是组中至少有一个向量可由所有其余向量线性表示.”这一定理的逆否命题.3.(1990.I,II)已知是非齐次线性方程组的两个不同的解,是对应齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解(一般解)必是(B)(A).(B).(C).(D).【注】的通解应

6、为的基础解系的线性组合与的一个特解之和，而为的解，故不应选(A)、(C).又为的解，但不能确定是否与线性无关，故也不能选(D).由于，线性无关且为的解，因此只能选(B).4.(1991.I,II)设阶方阵满足关系式,其中是阶单位阵,则必有(D)(A).(B).(C).(D).【注】据知与互为逆阵，因此，即(D)正确.5.(1992.I,II)要使都使线性方程组的解,只要系数矩阵为(A)62(A).(B).(C).(D).6.(1993.I,II)已知,为3阶非零矩阵,且满足,则(C)(A)时的秩必为1.(B)时的秩必为2.(C)时的秩必为1.(D)时的秩必为2.【注】显然，时，；由于，故

7、因此再者，由于为非零矩阵，应有.综上，故(C)正确.7.(1994.I,II)已知向量组线性无关,则向量组(C)(A)线性无关.(B)线性无关.(C)线性无关.(D)线性无关.8.(1995.I,II)设,,则必有(C)(A).(B).(C).(D).【注】(C)正确，因为用初等矩阵左乘时，相当于把的第一行加至第三行，得；再把初等矩阵左乘，则相当于把的第一、二行对调，故有.9.(1989.I,II)设是阶矩阵,且的行列式,则中(C)