线性代数历年考研试题（卷）之填空题

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1、WORD文档下载可编辑一、填空题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)已知三维线性空间的一组基底为,则向量在上述基底下的坐标是.【考点】向量在基下的坐标.解方法一:设,得方程组解得.方法二:,解矩阵方程得.【注意】行(列)向量组由行(列)向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的.2.(1988—Ⅰ,Ⅱ)设矩阵,其中均为4维列向量,且已知行列式,则行列式.【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质.解.【注意】.3.(1988—Ⅳ,Ⅴ).【考点】行列式的计算.方法一:.方法二:.【注】副对角行列式专业技术资料分享WORD文档下载可编辑.4.(1988—Ⅳ

2、,Ⅴ).【考点】求逆矩阵.解方法一:,所以.方法二:利用分块矩阵求逆公式得到.【注】.方法三:利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩阵是将4阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一类初等矩阵.【注】.5.(1989—Ⅰ,Ⅱ)设矩阵,则逆矩阵.【考点】分块矩阵求逆.解.【注】(1);专业技术资料分享WORD文档下载可编辑(2).6.(1989—Ⅳ)齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是.【考点】齐次线性方程组解的理论.解个方程个未知数的齐次线性方程组只有零解,即.7.(1989—Ⅴ)行列式.【考点】行列式的计算.解8.(1990—Ⅰ,Ⅱ

3、)已知向量组,则该向量组的秩是.【考点】向量组秩的计算.解专业技术资料分享WORD文档下载可编辑9.(1990—Ⅳ,Ⅴ)若线性方程组有解,则常数应满足条件.【考点】非齐次线性方程组解的理论.解非齐次线性方程组有解.,则.10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设4阶方阵,则的逆阵.【考点】分块矩阵求逆.解.11.(1991—Ⅳ)设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则.【考点】抽象分块矩阵求逆.解设,由,得,所以.专业技术资料分享WORD文档下载可编辑12.(1991—Ⅴ)阶行列式.【考点】行列式的计算.解把行列式按第1列展开,得.13.(1992—Ⅰ,Ⅱ

4、)设,其中,则矩阵的秩.【考点】矩阵秩的计算.解.14.(1992—Ⅳ)设为阶方阵,为阶方阵,且,则.【考点】行列式的性质.解.15.(1992—Ⅴ)矩阵的非零特征值是.【考点】特征值的计算.解方法一:专业技术资料分享WORD文档下载可编辑,则为所求.方法二:为实对称矩阵且,则只有一个非零特征值;又的主对角线元素之和为4,则所求非零特征值为4.【注】(1)若为实对称矩阵,则的非零特征值的个数.事实上,由为实对称矩阵,则存在可逆矩阵,使得,其中为的特征值,所以中非零的个数.(2)的特征值之和等于的对角线元素之和.16.(1993—Ⅰ,

5、Ⅱ)设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为,则线性方程组的通解为.【考点】齐次线性方程组解的结构.解的秩为,则线性方程组的基础解系所含解向量的个数为.由的各行元素之和均为零,知向量是线性方程组的一个非零解,故线性方程组的通解为为任意常数.【注】对于抽象的齐次(非齐次)线性方程组,求其通解时都是根据其解的结构解决.17.(1993—Ⅳ,Ⅴ)设四阶方阵的秩为2,则其伴随矩阵的秩为.【考点】的秩与其伴随矩阵的秩的关系.解.【注】18.(1994—Ⅰ,Ⅱ)已知,设,其中是的转置,则.【考点】矩阵的基本运算.解专业技术资料分享WORD文档下载

6、可编辑.【注意】为常数,而为方阵.19.(1994—Ⅳ,Ⅴ)设,且,则.【考点】分块矩阵求逆.解.20.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设三阶方阵满足关系式,且,则.【考点】解矩阵方程.解由得.专业技术资料分享WORD文档下载可编辑【注】,其中全不为零.21.(1995—Ⅳ,Ⅴ)设,为的伴随矩阵,则.【考点】逆矩阵的性质.解由.【注意】当可逆时,.22.(1996—Ⅰ,Ⅱ)设是矩阵,且的秩,而,则.【考点】矩阵秩的性质.解由知可逆,则.【注】当可逆时,,即在矩阵的左边或右边乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩.23.(1996—Ⅳ)设,其中,则线性方程组

7、的解是.【考点】求解非齐次线性方程组.解由范德蒙行列式,得,方程组有惟一解.显然为方程组的解.24.(1996—Ⅴ)五阶行列式专业技术资料分享WORD文档下载可编辑.【考点】行列式的计算.解,则.【注意】本题的递推公式为,不是.25.(1997—Ⅰ)设,为三阶非零矩阵,且,则.【考点】矩阵秩的性质(或齐次线性方程组解的理论).解方法一:由,得;又,得,则..则.或由.方法二:由且,得有非零解,所以.以下同方法一.26.(1997—Ⅱ)已知向量组的秩为2,则专业技术资料分享WORD文档下载可编辑.【考点】含参数的矩阵的秩的讨论.解,则

8、.27.(1997—Ⅲ)若二次型是正定的,则的取值范围是.【考点】正定二次型(霍尔维茨定理).解二次型的矩阵为正定.【注意】与具体的二次型的正定性有关的问题,一般都是用霍尔维茨定理直接解决.28.(1997—Ⅳ)设阶矩阵,则.参考19