[考研数学]线性代数历年考研试题之计算题与证明题

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1、线性代数历年考研试题精解三、计算题与证明题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.解方法一:.(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组无解或无穷多解,此时.①当时,,方程组有无穷多解;此时,方程组的通解为为任意常数;②当时,,方程组无解.综上可得:(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组有无穷多解;(3)当时,方程组无解.-105-线性代数历年考研试题精解方法二:方程组的系数行列式.(1)当时

2、,方程组有惟一解;(2)以下同方法一.【注意】(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是:①方程的个数等于未知数的个数;②方程组的系数行列式含参数.(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设为阶矩阵,和是的两个不同的特征值;是分别属于和的特征向量,试证明不是的特征向量.【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.解反证

3、法:假设是的特征向量,则存在数,使得,则.因为,所以线性无关,则.矛盾.【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵和满足关系式,其中,求矩阵.【考点】解矩阵方程.解由.4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组【考点】求解非齐次线性方程组.-105-线性代数历年考研试题精解解.由,得方程组有无穷多解.方程组的解,令得方程组的通解为任意常数.5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵的实特征值及对应的特征向量.【考点】求矩阵的特征值及特征向量.解,得的实特征值.解得其对应的特征向量,其中为

4、不为零的任意常数.6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知,其中,求及.【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.解..【注意】若,则;一般地,设,则方阵的多项式.-105-线性代数历年考研试题精解7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵与相似:(1)求与;（2）求一个满足的可逆矩阵.【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法.解(1)方法一:与相似,则,即,比较系数,得.方法二:的特征值为.由与相似,则的特征值为.故.【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失效.但方法二比较简单

5、,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.(2)分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为.令可逆矩阵,则.8.(1988—Ⅳ)设3阶方阵的伴随矩阵为,且,求.【考点】矩阵运算的性质.解,所以.或,则-105-线性代数历年考研试题精解.【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:;9.(1988—Ⅳ,Ⅴ)设向量组线性无关,且，讨论向量组的线性相关性.【考点】向量组的线性相关性的判别方法.解方法一:设,即.因为线性无关,则,其系数行列式.(1)当为奇

6、数,,方程组只有零解,则向量组线性无关;(2)当为偶数,,方程组有非零解,则向量组线性相关.方法二:显然,因为线性无关,则(1)为奇数时,,则向量组-105-线性代数历年考研试题精解线性无关;(2)为偶数时,,则向量组线性相关.【注意】(1)已知可由线性表示的具体表达式,且线性无关时,用方法二求解一般较简便.(2)若可逆,则.一般地,即乘积矩阵的秩不小于每一个因子的秩.10.(1988—Ⅳ,Ⅴ)设线性方程组为,问与各取何值时,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.【考点】含参数的线性方

7、程组解的讨论.解方法一:(一般情形).(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,,则①当时,,方程组无解;②当时,,方程组有无穷多解,且,则通解(一般解)为-105-线性代数历年考研试题精解为任意常数.*综上:当时,方程组有惟一解;当且时,方程组无解;当且时,方程组有无穷多解,且一般解为*式.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式.(1)当时,方程组有惟一解;以下同方法一.11.(1988—Ⅴ)已知阶方阵满足矩阵方程.证明可逆,并求出其逆矩阵.【考点】抽象矩阵是求逆.解由可逆,且.12.(1989—Ⅰ,Ⅱ)问

8、为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.解.线性方程组有解,其通解为为任意常数.13.(1989—Ⅰ,Ⅱ)假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明:(1)为的特征值;(2)为的伴随矩阵的特征值.【考点】特征值的概念.证(1)设对应于特征值的特征向量为,则.-105-线性代数历年考研试题精解(2).14.(1989—Ⅳ,Ⅴ)已知,其中,求矩阵.【考点