线性代数历年考研试题之计算题与证明题

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1、线性代数历年考研试题精解三、计算题与证明题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问ab,为何值时,线性方程组xxxx+++=0,1234xxx++=221,234−+−−=xaxxb(3)2,23432x+++=xxax−11234有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.11110r01221解方法一:B=[Ab]→.00ab−+101000a−10(1)当RA()4=⇔≠a1时,方程组有惟一解;(2)当a=1时,方程组无解或无穷多解,此时1111

2、0r01221B=[Ab]→.0000b+100000①当b=−1时,RARB()=()24=<,方程组有无穷多解;此时1011−−−1r01221B=[Ab]→,0000000000111−−−221方程组的通解为xk=++k,,kk为任意常数;1212100010②当b≠−1时,RA()2,()3=RB=,方程组无解.综上可得:(1)当a≠1时,方程组有惟一解;(2)当ab=1,=−1时,方程组有无穷多解

3、;(3)当ab=1,≠−1时,方程组无解.-40-线性代数历年考研试题精解2方法二:方程组的系数行列式Aa=(−1).2(1)当Aa=−⇔≠(1)a1时,方程组有惟一解;(2)以下同方法一.【注意】(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是:①方程的个数等于未知数的个数;②方程组的系数行列式含参数.(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设A为n阶矩阵,λ和λ是A的

4、两个不同的特征值;xx,是分别属于λ和12121λ的特征向量,试证明xx+不是A的特征向量.212【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.解反证法:假设xx+是A的特征向量,则存在数λ,使得Axx()()+=+λxx,则121212()()0λλ−xx+−λλ=.1122λλ−=01因为λλ≠,所以xx,线性无关,则⇒=λλ.矛盾.121212λλ−=02【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.4233.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中A=110,求矩阵B.−1

5、23【考点】解矩阵方程.−1解由BABBAEA=+⇒=−2(2)143423−−386−−=153110−−=296−−.−−−16412321294.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组2xxxx−+−=−434,1234xxx+−=−3,1343xxx++=1,1237xxx+−=733.134【考点】求解非齐次线性方程组.-41-线性代数历年考研试题精解2143−−−4101031011−−3r0120−−8解B=(

6、)Ab=→.31

7、101000167073−300000xx=−+313由RARB()=()34=<,得方程组有无穷多解.方程组的解xx=28−,令xk=得方程组的通解233x=63x31−1x−822=+kk,为任意常数.x013x460−−3125.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵A=014−的实特征值及对应的特征向量.−101【考点】求矩阵的特征值及特征向量.2解AE−=−λ(1λλ)(++4λ5),得A的实特征值λ=1.解()0

8、AEx−=得其对应的特0征向量xk=2,其中k为不为零的任意常数.16.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知AP=PB,其中100100BP=000,=210−,001−2115求A及A.【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.100−1解AP=⇒=PBAPBP=200.611−−551−−1A=PBP=PBP=A.−1kk−1m【注意】若A=PBP,则A=PBP;一般地,设ϕ()x=ax+++axa,则方阵A的m10多项式m−1ϕϕ()A=aA+++=aAaEPBP().m10

9、-42-线性代数历年考研试题精解2002007.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵A=001与By=00相似:01x001−−1(