曲线上一点处的切线.ppt

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1、曲线上一点处的切线问题情境：1.平均变化率的定义是什么？它的意义是什么？一般地，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1问题情境：2.平均变换率刻画了曲线在某区间的陡峭程度.1.平均变化率量化了变化的快慢.试作出y=x2，y=x3，在区间的图象，并分别求出它们在区间[0,1]的平均变化率.问题1：根据计算你有什么发现？2.用平均变化率来刻画一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”.不能反映出曲线在每一点的变化趋势.问题1：根据计算你有什么发现？3.它反映了曲线在某区间的整体变化趋势，1.以直线的斜率代表了曲线的陡峭程度.问题2：如何精确

2、地刻画曲线上某点处的变化趋势呢？重要思想：以直代曲通过放大点P附近的曲线，我们会发现曲线在点P附近看上去几乎成了直线.如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线.因此，在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，在点P附近，曲线可以看做直线.我们就可以用这条直线的斜率来刻画曲线经过点P时上升或下降的变化趋势.问题3：在之前的学习过程中，你有类似的经历吗？生活中有类似的体会吗？建构数学：切线定义:如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点

3、P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线．建构数学：问题4：我们已经从“形”的角度上感受到切线的存在，能从“数”的角度求出这条直线吗？数学应用：例1.试求f(x)=x2在x=2处的切线斜率.问题5：解析几何中我们是如何完成的？我们又有什么新方法？割线逼近切线！我们用切线的斜率来刻画了曲线经过点P时的变化趋势，因此我们把曲线在点P处的切线斜率称为曲线在点P处的瞬时变化率.数学应用：变式1：求f(x)=x2在x=a处的切线斜率.变式2：求f(x)=x2斜率为2的切线方程.问题6：你能将该方法推广到一般函数吗？如何求出函数y=f(x)在

4、点P(x0,f(x0))处的切线斜率？1.设函数图象上另一点2.割线PQ的斜率3.当无限趋近于0时，kPQ无限趋近于点P处的切线斜率数学应用：试一试：利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线思考：（1）能用直线与曲线公共点的个数判定直线和曲线相切吗？（2）曲线一定在切线的一侧吗？数学应用：试一试：我们已经学过很多函数，你能给同桌出一个类似的求切线斜率的题吗？数学应用：课堂小结：1.一个概念：切线2.一种方法：割线逼近切线3.几种思想：以直代曲无限逼近量变到质变有限到无限近似与精确数形结合没有哪门学科能比数学更为清晰阐明自然界的和谐性——保罗·卡卢斯用数学的

5、眼光观察现实世界用数学的思维思考现实世界用数学的语言表达现实世界——史宁中课堂小结：课后小任务：1.查阅资料，简单了解魏晋时期数学家刘徽的割圆术.2.查阅资料，简单了解微积分的发展史.谢谢各位！