2-2 矩阵的运算.ppt

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1、第二节矩阵的运算四、矩阵的转置一、矩阵的加法三、矩阵与矩阵相乘二、数与矩阵相乘五、方阵的行列式一、矩阵的加法矩阵加法的定义设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)矩阵A与B的和记为AB规定为AB(aijbij)即提示只有当两个矩阵是同型矩阵时这两个矩阵才能进行加法运算一、矩阵的加法矩阵加法的定义设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)矩阵A与B的和记为AB规定为AB(aijbij)即矩阵的加法设A(aij)和B(bij)则规定AB(aijbij)矩阵加法的运算规

2、律设ABC都是mn矩阵则(1)ABBA(2)(AB)CA(BC)负矩阵矩阵的减法设矩阵A(aij)记A(aij)A称为矩阵A的负矩阵显然有A(A)O规定矩阵的减法为ABA(B)二、数与矩阵相乘数乘矩阵的定义数与矩阵A的乘积记为A或A规定为A=(aij)即数乘矩阵的运算规律设A、B都是mn矩阵、是数则(1)()A(A)(2)()AAA(2)(AB)AB矩阵的加法运算与数乘运算合起来统称为矩阵的线性运

3、算数与矩阵相乘设A(aij)则规定A=(aij)三、矩阵的乘法这个线性变换称为前两个线性变换的乘积它的系数矩阵可以看作是前两个线性变换的系数矩阵的乘积引例可得线性变换相继作线性变换2x33x22x2矩阵乘法的定义设A(aij)是一个ms矩阵B(Bij)是一个sn矩阵那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB＝CC(cij)为mn矩阵其中cijai1b1jai2b2jaisbsj(i12m；j12n)三、矩阵的乘法应注意的问题只有当左矩阵的列数等于右矩阵的

4、行数时两个矩阵才能相乘mxssxnmxn矩阵的乘法设A(aij)msB(bij)sn则规定AB(cij)mn其中cijai1b1jai2b2jaisbsj(i12m；j12n)解3110733提问BA是否有意义三、矩阵的乘法特别地，一个1s的行矩阵与一个s1的列矩阵的乘积是一个1阶方阵也就是一个数这表明乘积ABC中的元cij就是A的第i行与B的第j列的乘积解32161680000本例说明1.乘法一般不满足交换律，即AB一般不等于BA

5、(两种情况）2.从ABO一般不能推出AO或BO3.从AX=AY，A≠O,一般不能推出XY（见课本P35）矩阵乘法与数的乘法的区别解31103110ABBA特别地，如果两矩阵A与B相乘有ABBA则称矩阵A与矩阵B可交换矩阵乘法的性质(1)(AB)CA(BC)(2)(AB)(A)BA(B)(其中为数)(3)A(BC)ABAC(BC)ABACA单位矩阵在矩阵乘法中的作用对于单位矩阵E容易验证EmAmnAmnAmnEnAmn或简写成EAAEA可见单位矩

6、阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1纯量矩阵在矩阵乘法中的作用矩阵Ediag()称为纯量阵由(E)AAA(E)A可知纯量阵E与矩阵A的乘积等于数与矩阵A的乘积当A为n阶方阵时有(En)AnAnAn(En)这表明纯量阵E与任何同阶方阵都是可交换的注意：EAA，而E≠应注意的问题只有当A与B可交换时才有(AB)kAkBk(AB)2A22ABB2(AB)(AB)A2B2矩阵的幂设A是n阶方阵定义A1AAk1AkA1A

7、2A1A1其中k为正整数就是说Ak是k个A连乘显然只有方阵它的幂才有意义矩阵的幂的运算规律(1)AklAkAl(2)(Ak)lAkl其中k、l为正整数线性方程组的矩阵表示令则上述方程组可表示为转置矩阵的定义把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵叫做A的转置矩阵记作AT四、矩阵的转置120311转置矩阵的运算规律(1)(AT)TA(2)(AB)TATBT(3)(A)TAT(4)(AB)TBTAT>>>解法一因为所以0171413310解法二0171413310注设A

8、为n阶方阵如果满足ATA即aijaji(ij12n)则称A为对称矩阵简称对称阵对称阵的特点是它的元素关于主对角线对称相等例7设列矩阵X(x1x2xn)T满足XTX1E为n阶单位阵HE2XXT证明H是对称阵且HHTE