专题二第1讲三角函数的图象与性质.doc

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1、第1讲　三角函数的图象与性质【高考考情解读】　1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以客观题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二

2、正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：

3、(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)3．三角函数的两种常见变换考点一　三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1　(1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(

4、2,1)时，的坐标为________．(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)若sin＝a，则cos＝________.(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为.求的值．考点二　三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图

5、象及解析式例2　如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，

6、φ

7、<π)的部分图象，由图中条件，写出该函数的解析式．本题考查已知图象上的点，求三角函数的解析式，解题的关键是正确理解参数A，ω，φ的含义，以及它们对函数图象的作用，抓住两者联系解决问题．(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象

8、变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.①求a，c的值；②求sin(A－B)的值．考点三　三角函数的性质例3　已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．先化简函数

9、解析式，再求函数的性质．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．(1)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，g(x)＝sinx－cosx，有下列四个命题：①将f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象；②y＝f(x)g(x)是偶函数；③f(x)与g(x)均在区间上单调递增；④y＝的最小正周期为2π.

10、其中真命题是________．(填序号)(2)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.①求ω的值；②讨论f(x)在区间上的单调性．1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx＋