人教版初二数学上册角平分线和全等三角形的应用.doc

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1、第三讲角平分线和全等三角形的应用【知识回顾】角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。角平分线的判定：到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合【例题精讲】例1.如图1，在中，，平分，，求点到直线的距离。图1例2．如图2，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D.(1)若∠BAC=30°,则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由;(2)若AP平分∠BAC，交BD于P,求∠BPA的度数.图2例3.已知：如图3，△ABC中，D是BC的中点，∠

2、1=∠2，求证：AB=AC。分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1=∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。图37【课堂随练】1、如图4，在△ABC中，D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线.图42、如图5，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=8，BD=5，求D到AB的距离。3、如图6，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求证：AB+B

3、D=AC。图64、如图7，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，求证：EB=FC图75、如图8，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠BAF=180°。求证：DE=DF。图87【知识回顾】常见的全等三角形的基本类型　（1）平移全等型（如图）；　（2）对称全等型（如图）；　（3）旋转全等型（如图）．找对应元素的常用方法:a．全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．b．全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．c．两个全等

4、三角形有公共边的，公共边一定是对应边．d．两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角．e．两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角．f．两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）7【例题精讲】例4、如图9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE.垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.求证：AE=CD.解析：AE和CD分别是△ACE和△CBD的边，如果能证明△ACE≌△CBD.就能证明AE=CD，由已知条件可以证明△A

5、CE≌△CBD.图9例5、如图10，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证；AC⊥CE.图10例6.如图11，已知A，F，C，D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE.求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠CBF=∠FEC.图117例7如图12，△DAC,△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD(2)CM=CN(3)△CMN为等边三角形（4）MN∥BC图12EDACBNM【课堂随练】1、下列结论错误的是（　）A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角

6、形全等B．三边分别对应相等的两个三角形全等C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．边长相等的等边三角形全等2、如图，AD⊥BC于D，BD=DC，E在AD上，则图中全等三角形共（　）第5题图第4题图第2题图A．1对　　B．2对C．3对　　　D．4对3、下列各组条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′全等的是（　）A．AC=A′C′，BC=B′C′，∠C=∠C′．B．∠A=∠A′，BC=B′C′，AC=A′C′C．∠A=∠A′，∠C=∠C′，BC=B′C′．D.AB=A′C′，BC=C′B′，AC=A′B4.如图，在△ABC

7、中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（　）7A．4cm　　　B．6cmC．8cm　　　D．10cm5、如图，已知∠ADB=∠ACB=90°，AC=BD，且AC、BD交于点O，则下列说法正确的有（　）①AD=BC　　　　　②∠DBC=∠CAD　　　　③AO=BO④AB∥CD　　　　⑤△DOC为等腰三角形A．2个　　　B．3个C．4个　　　D．5个6、完成下列填空：（1）把“等角的补角相等”改写成“如果____________，那么____________”.（2

8、）把“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写成“如果____________，那么____________”.（3）“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果____________，那么____________”.7.如图：在△AB