巧作辅助线_灵活解决圆.doc

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1、巧作辅助线灵活解决圆贾秀翠背景：数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力，而创造性是数学思维的最根本.最核心的智力品质。在初中平面几何的教学中，要不断地利用教材特征，挖掘生活素材，适时地培养学生的创造性思维能力。在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，下面以教学中常见的几个问题为例来谈一谈。问题一：在解决与弦、弧有关的问题时，常常会遇到比较麻烦的问题，就是凭借给出的图不能直接解决所要解决的问题。对策一：DCBPOAEFPB图1

2、在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。这样，就可以将复杂的问题简单化了，学生可以轻松地完成作业任务。相应例题：如图1,⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分∠APD。解决方法1：由等弦AC=BD可得出等弧AC等于弧BD进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中DCBPOAPB图1-1等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。解决方法2：如图1-1，欲证PO平分∠APD，即证∠OP

3、A=∠OPD，可把∠OPA与∠OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ACP≌△DBP，得AP=DP，从而易证△OPA≌△OPD。反思：4一是让学生根据题目所给条件以及求证的问题，灵活快捷地想到此类题做辅助线的方法。二是学会把与圆有关的问题与三角形问题紧密结合，最终用三角形的知识来解决问题。所以，关于三角形有关的知识要点要求学生熟练掌握。问题二：如何利用直径所对的圆周角是直角来巧妙构建直角三角形？BDCMAO.A21图2对策二：对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。相应例

4、题：如图2，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线DM交AC于M。求证DM⊥AC。解决方法：由AB是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角。于是可连结AD，得∠ADB=Rt∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再可得∠ADM=∠B，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM⊥AC。问题三、如何利用切线的性质定理或判定定理来解决与圆有关的问题。对策三、当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦DAOBC.图3相应例题：如图3,AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，DC切⊙O于C点。求∠A的度数。分析：由过切点的半径垂直

5、于切线，于是可作辅助线即半径OC，得Rt△OCD，再由解直角三角形可得∠COB的度数，EDCFO12AB图4从而可求∠A的度数。说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。相应例题：如图4，已知△ABC中，∠1=∠2，圆O过A、D两点，且与BC切于D点。求证EF//BC。分析：欲证EF//BC，可找同位角或内错角是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE，得一对内错角∠BDE与∠DEF，由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2，故易证EF//BC。4说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。问题四：关于两圆相切的问题，一要考虑两圆外切，二要考虑两

6、圆内切。这样的问题如何解决。对策四：当两圆相切，可作公切线或连心线ACNBDMPO1O2..图5相应例题：已知：如图5，⊙O1与⊙O2外切于点P，过P点作两条直线分别交⊙O1与⊙O2于点A、B、C、D。求证PB•PC=PA•PD。分析：欲证PB•PC=PA•PD，即证PA∶PB=PC∶PD，由此可作辅助线AC、BD，并证AC//DB，要证平行，需证一对内错角相等，如∠C=∠D，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN，从而问题迎刃而解。TBAO1O212图6说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。相应例题：已知

7、：如图6，⊙O1与⊙O2内切于点T，经过切点T的直线与⊙O1与⊙O2分别相交于点A和B。求证TA∶TB=O1A∶O2B。分析：欲证TA∶TB=O1A∶O2B，可考虑证这四条线段所在的三角形相似，即证△TO1A∽△TO2B，于是只需连结O2O1，并延长，必过切点，则产生△TO1A和△TO2B，由∠1=∠2=∠T，则O1A//O2B，易证线段比相等。说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。反思：4几何辅助线的添加，是几何学习的一个难点，正确添加辅助线，是沟通题设和结论的桥梁，也是解题的重要手段。学生在做几何题时，明知需要引辅助线，但又不知如何引，而是乱加

8、辅助线，反