2020年高考数学二轮提升专题训练考点31 数学归纳法及其应用含答案.doc

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1、考点31数学归纳法及其应用【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019南京三模）对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串11010101010中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组

2、成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)．(1)求f(3)，f(4)的值；(2)求证：对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．规范解答(1)在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，所以f(3)＝1.(2分)在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，所以f(4)＝2.(4分)(2)当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前(n－3)个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前(n－2)位形

3、成的字符串中是子串“010”在第(n－2)位出现的字符串，此时不满足条件．所以f(n)＝2n－3－f(n－2)，n≥5且n∈N*.(6分)因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.下面用数学归纳法证明f(4n＋1)是3的倍数．①当n＝1时，f(5)＝3是3的倍数；②假设当n＝k(k∈N*)时，f(4k＋1)是3的倍数，那么当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋1]＝f(4k＋5)＝24k＋2－f(4k＋3)＝24k＋2－[24k－f(4k＋1)]＝3×24k＋f(4k＋1)．(8分)因为f(4k＋1)是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f(4k＋5)是3的倍数．这就是

4、说，当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋1]是3的倍数．由①，②可知，对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．(10分)2、(2019镇江期末）已知x，y为整数，且x>y>0，θ∈，n为正整数，cosθ＝，sinθ＝，记An＝(x2＋y2)ncosnθ，Bn＝(x2＋y2)nsinnθ.(1)试用x，y分别表示A1，B1；(2)用数学归纳法证明：对一切正整数n，An均为整数．规范解答(1)A1＝(x2＋y2)cosθ＝(x2＋y2)＝x2－y2；(1分)B1＝(x2＋y2)sinθ＝(x2＋y2)＝2xy.(2分)(2)①当n＝1时，A1＝x2－y2，B1＝2x

5、y，因为x，y为整数，则A1，B1均为整数，则结论成立．(4分)②假设当n＝k(k>1)时，Ak，Bk均为整数，(5分)则n＝k＋1时，Ak＋1＝(x2＋y2)k＋1cos(k＋1)θ＝(x2＋y2)(x2＋y2)k·(coskθcosθ－sinkθsinθ)＝(x2＋y2)cosθ·(x2＋y2)kcoskθ－(x2＋y2)ksinkθ·(x2＋y2)sinθ＝A1·Ak－B1·Bk，(9分)由于A1，Ak，B1，Bk均为整数，所以Ak＋1也为整数，即当n＝k＋1时，结论成立．综合①②得，对一切正整数n，An均为整数．(10分)3、(2019苏锡常镇调查（二））

6、已知数列{an}，a1＝2，且an＋1＝a－an＋1对任意n∈N*恒成立．求证：(1)an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1(n∈N*)；(2)an＋1>nn＋1(n∈N*)．规范解答(1)当n＝1时，a2＝a1(a1－1)＋1＝3＝a1＋1成立．假设n＝k时，结论成立，即ak＋1＝akak－1…a2a1＋1.当n＝k＋1时，ak＋2＝ak＋1(ak＋1－1)＋1＝ak＋1(akak－1…a2a1＋1－1)＋1＝ak＋1akak－1…a2a1＋1.则当n＝k＋1时，命题成立．综上，an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1.(4分)(2)要证：an＋1>n

7、n＋1，由(1)知an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1，只需证：anan－1an－2…a2a1>nn，下用数学归纳法证明：当n＝1，2，3时，a1＝2，a2＝3，a3＝7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33.假设n＝k(k≥3)时，结论成立，即akak－1ak－2…a2a1>kk，(6分)则n＝k＋1时，ak＋1ak…a2a1＝(akak－1…a2a1＋1)akak－1…a2a1>(akak－1ak－2…a2a1)2>k2k.(7分)设f(x)＝2xlnx－(x＋1)ln(x＋1)(x≥3)，则f′(x)＝ln＋1>ln＋1＝ln(x－1)＋1≥ln

8、2＋1>0