[训练]高考数学难点突破难点31数学归纳法解题

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1、难点31数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽彖与概括，从特殊到一般是应用的一种主耍思想方法.•难点磁场(★★★★)是否存在°、b、c使得等式1•2?+2•32+・・・+〃(卄1)2=川""(°/+脑+c).12•案例探究［例1］试证明：不论正数0、b、C是等差数列还是等比数列，当/?>l,/2eN*且°、b、c互不相等时,均有:an+cn>2bn.命题意图：木题主要考杏数学归纳法证明不等式，属**★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析

2、：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明--种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak-ck)(a~c)>0恒成立(a、b、c为正数)，从而占口严>ak•c+ck•a.证明：⑴设b、c为等比数列，a=匕,c=bq(q>0且qHl)q:.亍+c-—+b”q”=b”(—+/)>2b”qnqn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想三U>(号1)匕$2且用N)下面用数学归纳法证明：22①当心2时，由2(a2+c2)>(a+c)2f.・.口2_〉(1)222②设n=k时成立，即心土>(叱)*,22k+l.k+1i则当料之+］吋，°

3、=丄(产+严+严+严)24>丄(/**'+(?"+/•c+c*•a)=—(a%*)(a+c)44>()k•(a+c"T")=(［例2］在数列仏｝中，叶1,当心2时，，afl,Sfl,Sn-y成等比数列.⑴求02,03,44,并推出Q”的表达式;(2))IJ数学归纳法证明所得的结论；⑶求数列｛给｝所有项的和.命题意图：木题考杳了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤•采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，氐=一^^应舍去，这一点往往容易被忽视.2k-3技巧与方法：求通项可证明｛丄｝是以｛丄｝为

4、首项，丄为公差的等差数列，进而求得s”S

5、2通项公式.解：・・・如％必一斗成等比数列，・・・呼=给・⑸一*)522)(*)⑴由0]=1』2=。]+。2=1+02,代入(*)式得：。2=一71O由d]=l,«?=——A=—+«3f弋入C)式得：如=—一231512同理nJ得：a4=——，由此叫推出：an=<235(2)①当n=l,2,3,4时，由(*)知猜想成立.2②假设伙$2)时，做⑵7—3)⑵2—1)成立(2k-3)(2k-l)故Sf=—■(Sr——)(2k-3)(2—1)2・•・(2P_3)(2k_1)S/+2Sr-1=0.9.Sk=—^—,S

6、k=———(舍)2k-k2k-3由Sk+]2=Clk+•(Sjl+l—尸),得(Sr+Or+])2=6如](dR+]+SL3)厶厶122(7阳[2。人+11二+d/c+l"I=代+1djt+1(2—1)2A+12k-lM2k-l2w=[2伙+1)-3][2伙+1)-1]‘即心小命题也成立-21(7?=1)由①②知，a”=<2(小、对一切«eN成立.(nn2)(2/7-3)⑵7-1)⑶由⑵得数列前n项和Sn=—^—,：.S=rns尸0.2n—->co•锦囊妙记（1）数学归纳法的基木形式设PS）是关于自然数n的命题，若1°PSo）成立（奠基）

7、2°假设P伙）成立伙2%），可以推出P伙+1）成立（归纳），则PS）对一•切大于等于％的自然数〃都成立.（2）数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：怛等式，不等式，数的整除性，几何屮计算问题，数列的通项与和等.•歼灭难点训练一、选择题】.（★★★★★）已知和）=0+7）・3"+9,存在自然数”使得对任意eN,都能使m整除f（n）,则最人的加的值为（）A.30B.26C.36D.62.（**★★）用数学归纳法证明屮GN）第一步应验证（）A.n=lB.h=2Cji=3D.h=4二、填空题3.n★★）观察下列式子:i+l<2i+-L+-L<51+1+1

8、+J_<2…则可归22223232232424纳出・4.（★★★★）已知山=丄,如1=%"，贝U如。3,。4心的值分别为，由此猜想2〜+3知=.三、解答题5.（**★★）用数学归纳法证明42〃+1+3用能被13整除，其中hEN*.★★）若n为大于1的自然数，求证：——+—-—.n+1n+2In24?.（★★★★★）已知数列｛%｝是等差数列,方1=1,加+仇+・・・+加=145.⑴求数列｛仇｝的通项公式仇;（2）设数列｛给｝的通项给=log“（l+丄）（其中a>0且aHl）记S“是数列⑺”｝的前n项和，试hn比鮫S“与丄lo&Q“+i的大小，并证明你

9、的结论.&（★★★★★）设实数q满足

10、彳

11、VI擞列｛如满足:4]=2,°2工0,砌•%】=—g",求表达式,又如果limS