3-3泰勒公式--赵树嫄.ppt

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1、第三节泰勒(Taylor)公式二、常用函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算第三章问题的提出在理论分析和近似计算中，常希望能用一个简单我们已经介绍了用线性函数（一次多项式）来近似的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。表示函数的方法，一、泰勒公式的建立⑴思路:⑵提出问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.以直代曲近似存在不足：寻找高次多项式函数P(x),使得误差可估计。设f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(x-x0)的n次多项式:来近似表达f(x),误差Rn(x)=f(x)-Pn(x)是比(x-

2、x0)n高阶的无穷小,并给出误差的具体表达式。⑷假设的理由2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交⑶分析:假设⑸多项式系数的确定下面定理表明，上式多项式即为要找的n次多项式。证明:只需证明则由上式得注：①称下式为f(x)按(x-x0)幂展开n次近似多项式②称下式为f(x)按(x-x0)幂展开n阶泰勒公式④带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式⑴带拉氏余项的麦克劳林(Maclaurin)公式麦克劳林公式⑵带佩氏余项的麦克劳林(Maclaurin)公式解代入公式，得由公式可知估计误差其误差二、常用函数的麦克劳林公式解其中其误差类似可得其中其中已知其中类似可得常用函数的麦克

3、劳林公式三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.例2.用近似公式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x

4、的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.2.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,3.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式(P140~P142)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,42246420246泰勒多项式逼近42246420246泰勒多项式逼近思考与练习计算解:原式作业P1431;4;5;7;8;10(1),(2)播放关于公式的理解关于公式的理解关于公式的理

5、解关于公式的理解关于公式的理解关于公式的理解播放