《习题课赵树嫄》PPT课件

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1、第三章习题课二、典型例题一、主要内容第三章洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率.导数的应用一、主要内容例1解这就验证了命题的正确性.例2.设f(x)=3x2+2x+5，求f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的值.解：f(x)为多项式，在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件,故由此解得,(即此时为区间[a,b]的中点)例3.设a0,a1,…,an满足证明方程a0+a1x+…+an1xn1+anxn=0在(0,1)内至少有一实根证:令则

2、，f(x)C([0,1])，在(0,1)内可导。又f(0)=0,即f(0)=f(1)故f(x)满足Rolle定理条件.由Rolle定理，命题获证.例4.证明：若f(x)在(,+)内满足关系式f(x)=f(x)，f(0)=1，则f(x)=ex.证：要证f(x)=ex,x(,+)，令(转化证明(x)=0)又f(0)=1,故从而例5.证明若f(x)在[a,b]上可微，则至少存在一点(a,b),使分析:要证明与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作辅助函数余下的由学生自己完成.例6证明：当0

3、值定理条件，故另例.解例7解例8.解例9.证例10.证①②①–②,则有例11.解由题设条件,必有解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为例18解奇函数列表如下:极大值拐点极小值作图例2.设f(x)C([a,b]),在(a,b)内可导。证明方程在(a,b)内至少有一根。证：令F(x)=x2(f(b)f(a))(b2a2)f(x),由f(x)的连续性和可导性，得F(x)C([a,b])，F(x)在(a,b)内可导,又F(a)=a2(f(b)f(a))(b2a2)f(a)=a2f(b)b2f(a)F(b)=b2(f(

4、b)f(a))(b2a2)f(b)=a2f(b)b2f(a)即F(b)=F(a)由Rolle定理，至少存在一点(a,b)，使得F()=2(f(b)f(a)(b2a2)f())=0即在(a,b)内方程2x(f(b)f(a)=(b2a2)f(x)至少有一根。备选例证明：x>1时，ex>ex.证(分析)：即要证：ex1>x(x>1),或x1>lnx(x>1),比较f(b)f(a)=f()(ba),在[1,x]中，运用ln1=0就有x1>lnxln1.但是没有出现注意，我们是证不等式，正好要利用

5、f()

6、M来引入不等

7、号.由1<

8、格朗日中值定理条件,故由此解得,(即此时为区间[a,b]的中点)例10证分析:结论可变形为2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.4.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数练习题答案泰勒公式练习题练习题答案单调性凹凸拐点练习题练习题答案测验题测验题测验题测验题测验题测验题测验题测验题测验题答案七、不满足在闭区

9、间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题练习题练习题练习题练习题答案思考题利用泰勒公式求极限练习题练习题答案极值练习题练习题练习题答案