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1、Bezier曲线与曲面由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。7/25/20211Bezier曲线的定义和性质7/25/20212给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：其中，Pi构成该Bez
2、ier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：0=1,0!=1曲线实例如右图所示。Bezier曲线定义7/25/20213Bezier基函数Bezier基函数的定义如下n次多项式称为n次Bezier基函数7/25/20214Bezier基函数Bezier基函数的性质正性权性7/25/20215Bezier基函数对称性降阶公式7/25/20216Bezier基函数升阶公式导数7/25/20217Bezier基函数积分最大值在t=i/n处取得最大值线性无关性是n次多项式空间的一组基7/25/20218Bezier曲线Bezier曲线的定义n次多项式曲线P（t
3、）称为n次Bezier曲线控制顶点控制多边形7/25/20219Bezier曲线Bezier曲线的性质端点位置7/25/202110Bezier曲线端点切矢量导数曲线7/25/202111Bezier曲线端点曲率曲率公式7/25/202112Bezier曲线仿射不变性表达式几何属性：形状，曲率等等7/25/202113Bezier曲线凸包性凸集凹集点集的凸包包含这些点的最小凸集Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内7/25/202114Bezier曲线直线再生性平面曲线的保凸性平面曲线的变差缩减性7/25/202115Bezier曲线拟局部性形状的易控性7/25/202116B
4、ezier曲线三次Bezier曲线的矩阵表示7/25/202117Bezier曲线线性运算DeCasteljau算法问题给定参数，计算tP(t)7/25/202118计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用deCasteljau提出的递推算法则要简单的多。如图3.1.10所示，设、、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过和点的两切线交于点,在点的切线交和于和，则如下比例成立：这是所谓抛物线的三切线定理。三切线定理德卡斯特里奥算法7/25/202119当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、
5、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。线性组合7/25/202120Bezier曲线计算算法计算过程7/25/202121Bezier曲线计算几何解释7/25/202122Bezier曲线分割分割定理问题：一条多项式曲线被分割成两段，得到的两段曲线是不是多项式曲线？如果是，它们的表达式如何？P=Q+R7/25/202123Bezi
6、er曲线生成离散生成算法想法7/25/202124Bezier曲线生成程序voidDisplayBezierCurve(VectorP[],intn,floatDELTA){if(Distance(P,n)<=DELTA)显示控制多边形P；else{BezierCurveSplitting(P,Q,R,n);DisplayBezierCurve(Q,n,DELTA）；DisplayBezierCurve(R,n,DELTA）；}}7/25/202125Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bez
7、ier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。7/25/202126Bezier曲线拼接曲线的拼接7/25/202127Bezier曲线拼接条件条件条件？7/25/202128给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0,1,...,n)和Qj(j=0,1,...,m)，且令，如图3.
