信号与系统 傅立叶变换.ppt

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1、第二章傅立叶变换在信号分析中，经常将信号从时域表示转换到某一变换域表示，即对信号进行线性变换,常见的变换有：（1）连续时间信号的傅立叶变换；（2）拉普拉斯变换；（3）离散时间信号的z变换。拉普拉斯变换是傅立叶变换的一种推广。z变换则是傅立叶变换在离散时间序列中的普遍化。1周期信号的频谱分析——博立叶级数①基函数：三角函数，指数函数；②利用傅里叶级数研究周期信号的频谱特性第二章傅立叶变换2三角函数的傅里叶级数三角函数集：可以证明该函数集即为正交函数集。任何一个周期函数f(t)都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示。

2、上述第一项为信号的直流分量。第二章傅立叶变换3傅里叶级数的三角形式An称为幅度频谱.称为相位频谱.第二章傅立叶变换4指数函数的傅里叶级数指数函数集：这是一个完备正交函数集。任何一个周期函数f(t)都可以用指数函数集中各函数分量的线性组合来表示。第二章傅立叶变换5傅里叶级数三角形式与指数形式之间的关系6典型周期函数的频谱设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E，周期为T,信号在一个周期内的表达式为：第二章傅立叶变换将f(t)展开成指数形式傅立叶级数:这里BasicLaws第二章傅立叶变换若:（1）（2）（3）

3、表示方法：幅度为正表示相位为0，幅度为负，表示相位为π。BasicLaws第二章傅立叶变换特点：①离散线状频谱只出现在的整数倍上。②其包络线按抽样函数的规律变化。③谱线的幅度变化呈现收敛状态，能量主要集中在第一个过零点之内。④信号的时宽与频宽成反比。⑤T不变:ω1不变。T增加：各分量幅度减小，ω1下降，谱线变密。τ减小：各分量的幅值减小，信号带宽增加。第二章傅立叶变换7非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换的导出：①非周期函数可以认为是周期T=∞时的周期函数。②T趋于无穷大时，谱线间隔趋于无限小，离散频谱就成了连续频谱，各分量

4、幅度趋于无穷小。第二章傅立叶变换设周期信号f(t)展成指数傅立叶级数为：可见为单位频率内的能量，一般记：第二章傅立叶变换定义：F(ω)为频谱密度函数。为幅度频谱，为ω的偶函数.为相位频率谱，为ω的奇函数.同样可以推导出：第二章傅立叶变换可见：①非周期信号和周期信号一样，可分解为许多不同频率的正弦分量。②非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，包括了从零到无穷大的所有频率分量。③傅里叶变换存在的充分条件（狄利赫条件)：第二章傅立叶变换8典型非周期函数的频谱（1）矩形脉冲信号其数学表达式为：矩形脉冲频谱是:幅度谱：相

5、位谱：第二章傅立叶变换比较典型周期信号和非周期信号的频谱，可以看出:非周期单位脉冲的频谱函数曲线与周期矩形脉冲离散频谱的包络线形状完全相同，都具有抽样函数的形状,单脉冲频谱也具有收敛性，信号的绝大部分能量集中在低频段。第二章傅立叶变换(2)单边指数函数的傅里变换已知单边指数信号如图所示，其表示式为:其幅度谱和相位谱分别为：第二章傅立叶变换(3)双边指数函数双边指数函数如图所示，其表示式为其频谱函数为幅度谱和相位谱分别为第二章傅立叶变换（4）单位冲激信号单位冲激信号的傅立叶变换是当τ趋于0时，矩形脉冲变成δ(t)信号，其相

6、应频谱的第一个零点(2π/τ)将移到无穷远处。“均匀谱”或“白色频谱”:信号δ(t)的频谱在整个频率范围内均匀分布.第二章傅立叶变换(5)单位阶跃函数（不符合绝对可积的条件）(A)根据傅立叶变换公式，u(t)的频谱为：直接利用公式无法求出其傅里叶变换。假设u(t)的傅立叶变换为：(B)的傅立叶变换为：依据傅立叶变换具有唯一性：所以第二章傅立叶变换当时当时所以第二章傅立叶变换（6）符号函数符号函数sgn(t)如图所示其表示式为由于sgn(t)不符合绝对可积条件，故使用间接方法计算。同理可以得到：第二章傅立叶变换（7）直流信

7、号直流信号如图所示其表示式为同理可以得到：第二章傅立叶变换10傅里叶变换的性质信号的性质既可用时间函数f(t)表示，也可用频谱函数F(ω)表示，其中只要有一个确定，另一个也随之确定。（1）线性（2）时移特性结论：信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的，与信号在时间轴上出现的位置无关，而信号的相位频谱，则是信号波形状和在时间轴上出现的位置共同决的。如果那么如果那么例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示，其相位谱如图(b)所示，将f1(t)右移τ/2得到如图（c）所示f2(t),试画出其相位谱。第二章傅立叶变换由题意可知根

8、据时移特性，可得f2(t)的频谱函数为第二章傅立叶变换f2(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)滞后τω/2、如图（d）所示。要使输出信号的波形不失真，必须是一个线性网络。即信号中各分量具有相同的相位移。第二章傅立叶变换（3）频移特性如果那么ω0为常数，该性质也叫频谱搬移，这种频谱搬移技术在通信系统中得到广泛的应用