3、JG。为开集。awl对Vxe
4、jGa,3a(),使x€Ga(,由G勺是开集，则存在兀的一个邻域S(x,r)cza
5、elG〈，从而S(x,r)czjGa.ael・•・尢是Ug的一个内点’从而Ug为开集。aelael(3).设G,是开集，心1,2,...丿，证明Fig,是开集。i=l对Vxgp
6、G,.,则心1,2,...曲，dbG,是开集，则存在兀的一个邻域/=1SgrJuGj,令r=min{/*,r2,...,rzi},贝lj从而S(x,r)uS(兀<•),i=1,2,...,n.从而nnS(兀，厂)u「
7、G「所以为开集。/=1Z=1定义2设X=(X,q),AuX,x0eX,若的任何£-邻域S(x°，刃满足
8、(SOo，£)-{x()}cAH0,，则称x()是A的一个聚点。其等价条件为：⑵兀0的任何£-邻域S(Xo，g)都含有人的无穷多个点；(3)BxneA,兀”工兀0,但£—兀0・证明：(1)=>(2)：若存在x°的一个邻域S(兀。,£),里面只含有A的有限个点X],兀2,……不妨认为它们都异于兀0•取/=min{P(X1，X0)»P(X2»X0)……P(Xn,X0)}o则{SgV)-{兀o}}n4=0.这与x()是A的聚点相矛盾。(2)=>(1)：显然。(1)=>(3)：设兀。是A的聚点，取则兀。
9、的邻域S(x°，6)中必含有A的点n所以p(xn,x())<£n=—,令“too,则有limxn=x0.n(3)二>(1)：设S(Xo，£),为X。的一个邻域，由£TXo，知存在N,当〃>N时,p(Xn,XQ)<8,即xnGS(xo,6*),因此兀0是A的一个聚点。设Ar={xx为A的聚点},若A'uA,则称A为闭集。A闭OgA,xn->x0,则x0eAo证明：=>)，设xtieA,xnx().要证明x()eAo若存在某兀“=兀()，则口然有xoGAo否则不妨认为xnx0，则x()GA',乂"
10、u4，则xoGAou),证明：A'uA。V兀wA',在A屮存在—>x,xnx<>由已知xwA,得A'uA。令A=A'^jA为A的闭包。xgA<=>V£->0,S(x,£)cAH0o}uA,—>x定义3设Au(X,Q),A：。wA,若北。>0,使5(x0,^0)nA={x0}或SO。,％)n(A-{x0})=^,则称兀0是A的一个孤立点。定理2设X=(X,°),AuX，则下列两条等价：(1).A是闭集;(2)."是开集。证明：(1)=(2)：由A是闭集，则A'uA,贝ijA'cAC=0。任取兀0力
11、°,贝吸不是A的聚点。则存在X的一个邻域S(x,£)cA=0,则(1):已知"是开集，要证A'uA,即ACu(A')c,对Vxw",由"是开集,存在兀的一个邻域Sg)",即sgg)中不含人中的点,所以即"(A)c,所以4是闭集。定理3X=(X,p)屮，A是闭集<=>/!=!.定理4给定X=(X,q),则(1)空集0和全空间X是闭集；(2)有限多个闭集之并是闭集；(3)任意多个闭集之交是闭集。证明：利用定理2,以及德摩根公式，如果jFi
12、,Fi是闭集，C([
13、片)二介碍，f：j=lj=1i=l是开集。由开集性质，门砰是开集，・・・[
14、片是闭集。/=1/=]定理5设Au(X,。),则Af和A都是闭集。证明：先证川是闭集。需证•设A〃h0。任取x0eA",对％>(),(SOo，”-{a：o})C7Vh0o设ye(5(^0,r)-{x0})n,取=min{r-/?(x0,y),0(兀0，刃}>°。可知S(”#)uSO。,/*)，事实上，对VzwS(y,#),即p(y,z)
